Berapa nilai yang diharapkan dari logaritma distribusi Gamma?

Jika nilai yang diharapkan dari adalah , berapakah nilai yang diharapkan dari ? Bisakah itu dihitung secara analitik? $\mathsf{Gamma}(\alpha, \beta)$ $\frac{\alpha}{\beta}$ $\log(\mathsf{Gamma}(\alpha, \beta))$

Parameter yang saya gunakan adalah bentuk-tingkat.

expected-value gamma-distribution

— Stefano Vespucci
sumber

Jika , maka menurut mathStatica / Mathematica, + PolyGamma [a], di mana PolyGamma menunjukkan fungsi digamma

X \sim Gamma (a, b)

$X \sim \text{Gamma}(a,b)$

E [\log (X)] = \log (b)

$E[ \log(X) ] = \log(b)$

— serigala

Saya harus menambahkan bahwa Anda tidak memberikan bentuk pdf dari variabel Gamma Anda, dan karena Anda melaporkan bahwa rata-rata adalah (sedangkan bagi saya itu akan , tampaknya Anda menggunakan notasi yang berbeda dari saya, di mana your

α / β

$\alpha/\beta$

a b

$a b$

β = 1 / b

$\beta= 1/b$

— wolfies

Benar, maaf. Parameter yang saya gunakan adalah bentuk-tingkat. Saya akan mencoba menemukannya untuk parametrisation ini . Bisakah Anda menyarankan pertanyaan untuk Mathematica / WolframAlpha?

\frac{β^{α}}{Γ (α)} x^{α - 1} e^{- β x}

${\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}x^{\alpha -1}e^{-\beta x}$

— Stefano Vespucci

Lihat juga Johnson, Lotz dan Balakrishna (1994) distribusi univariat terus menerus Vol 1 2nd Ed. hlm. 337-349.

— Björn

Juga lihat Wikipedia: Distribusi Gamma # Harapan dan varian logaritmik

— Glen_b -Reinstate Monica

Jawaban:

Yang ini (mungkin mengejutkan) dapat dilakukan dengan operasi elementer mudah (menggunakan trik favorit Richard Feynman untuk membedakan di bawah tanda integral sehubungan dengan parameter).

Kami mengandaikan memiliki distribusi dan kami ingin menemukan harapan Pertama, karena adalah parameter skala, efeknya akan menggeser logaritma dengan (Jika Anda menggunakan sebagai parameter laju , seperti dalam pertanyaan, ini akan menggeser logaritma dengan ) Ini memungkinkan kami untuk bekerja dengan case $X$ $\Gamma(\alpha,\beta)$ $Y=\log(X).$ $\beta$ $\log\beta.$ $\beta$ $-\log\beta.$ $\beta=1.$

Setelah penyederhanaan ini, elemen probabilitas adalah $X$

f_{X} (x) = \frac{1}{Γ (α)} x^{α} e^{- x} \frac{d x}{x}

$f_X(x) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} x^\alpha e^{-x} \frac{\mathrm{d}x}{x}$

di mana adalah konstanta normalisasi $\Gamma(\alpha)$

Γ (α) = \int_{0}^{\infty} x^{α} e^{- x} \frac{d x}{x} .

$\Gamma(\alpha) = \int_0^\infty x^\alpha e^{-x} \frac{\mathrm{d}x}{x}.$

Mengganti yang mensyaratkan memberikan elemen probabilitas , $x=e^y,$ $\mathrm{d}x/x = \mathrm{d}y,$ $Y$

f_{Y} (y) = \frac{1}{Γ (α)} e^{α y - e^{y}} d y .

$f_Y(y) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y.$

Nilai yang mungkin dari sekarang berkisar pada semua bilangan real $Y$ $\mathbb{R}.$

Karena harus berintegrasi ke persatuan, kami memperoleh (sepele) $f_Y$

\begin{matrix} (1) & Γ (α) = \int_{R} e^{α y - e^{y}} d y . \end{matrix}

$\Gamma(\alpha) = \int_\mathbb{R} e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y.\tag{1}$

Perhatikan adalah fungsi terdiferensiasi dariPerhitungan yang mudah memberi $f_Y(y)$ $\alpha.$

\frac{d}{d α} e^{α y - e^{y}} d y = y e^{α y - e^{y}} d y = Γ (α) y f_{Y} (y) .

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y = y\, e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y = \Gamma(\alpha) y\,f_Y(y).$

Langkah selanjutnya mengeksploitasi relasi yang diperoleh dengan membagi kedua sisi identitas ini dengan dengan demikian mengekspos objek yang perlu kita integrasikan untuk menemukan harapan; yaitu, $\Gamma(\alpha),$ $y f_Y(y):$

\begin{aligned} E (Y) & = \int_{R} y f_{Y} (y) = \frac{1}{Γ (α)} \int_{R} \frac{d}{d α} e^{α y - e^{y}} d y \\ = \frac{1}{Γ (α)} \frac{d}{d α} \int_{R} e^{α y - e^{y}} d y \\ = \frac{1}{Γ (α)} \frac{d}{d α} Γ (α) \\ = \frac{d}{d α} \log Γ (α) \\ = ψ (α), \end{aligned}

$\eqalign{ \mathbb{E}(Y) &= \int_\mathbb{R} y\, f_Y(y) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_\mathbb{R} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y \\ &= \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\int_\mathbb{R} e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y\\ &= \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\Gamma(\alpha)\\ &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\log\Gamma(\alpha)\\ &=\psi(\alpha), }$

turunan logaritmik dari fungsi gamma (alias " poligamma "). Integral dihitung menggunakan identitas $(1).$

Memperkenalkan kembali faktor menunjukkan hasil umum $\beta$

E (\log (X)) = \log β + ψ (α)

$\mathbb{E}(\log(X)) = \log\beta + \psi(\alpha)$

untuk parameterisasi skala (di mana fungsi kerapatan bergantung pada ) atau $x/\beta$

E (\log (X)) = - \log β + ψ (α)

$\mathbb{E}(\log(X)) = -\log\beta + \psi(\alpha)$

untuk parameterisasi laju (di mana fungsi kerapatan bergantung pada ). $x\beta$

— whuber
sumber

Dengan fungsi polygamma maksud Anda urutan mana (misalnya, 0,1) menjadi digamma (Seperti yang ditunjukkan oleh @ serigala), trigamma?

— Stefano Vespucci

@Stano saya maksud turunan logaritmik dari gamma, seperti yang dinyatakan. Itu berarti

ψ (z) = Γ^{'} (z) / Γ (z) .

$\psi(z) = \Gamma^\prime(z)/\Gamma(z).$

— whuber

Jawaban oleh @whuber cukup bagus; Saya pada dasarnya akan menyatakan kembali jawabannya dalam bentuk yang lebih umum yang menghubungkan (menurut pendapat saya) lebih baik dengan teori statistik, dan yang memperjelas kekuatan teknik keseluruhan.

Pertimbangkan sekumpulan distribusi yang merupakan keluarga eksponensial , yang berarti mereka menerima kepadatan sehubungan dengan beberapa ukuran yang mendominasi umum (biasanya, Lebesgue atau ukuran penghitungan). Membedakan kedua sisi sehubungan dengan kita sampai pada persamaan skor mana adalah fungsi skor $\{F_\theta : \theta \in \Theta\}$

f_{θ} (x) = \exp {s (x) θ - A (θ) + h (x)}

$f_\theta(x) = \exp\left\{s(x)\theta - A(\theta) + h(x)\right\}$

\int f_{θ} (x) d x = 1

$\int f_\theta(x) \ dx = 1$

θ

$\theta$

\begin{matrix} (†) & \int f_{θ}^{'} (x) = \int \frac{f_{θ}^{'} (x)}{f_{θ} (x)} f_{θ} (x) = \int u_{θ} (x) f_{θ} (x) d x = 0 \end{matrix}

$\int f'_\theta(x) = \int \frac{f'_\theta(x)}{f_\theta(x)} f_\theta(x) = \int u_\theta(x) \, f_\theta(x) \ dx = 0 \tag{$\dagger$}$

u_{θ} (x) = \frac{d}{d θ} \log f_{θ} (x)

$u_\theta(x) = \frac d {d\theta} \log f_\theta(x)$ dan kami telah mendefinisikan

f_{θ}^{'} (x) = \frac{d}{d θ} f_{θ} (x)

$f'_\theta(x) = \frac{d}{d\theta} f_\theta(x)$

u_{θ} (x) = s (x) - A^{'} (θ)

$u_\theta(x) = s(x) - A'(\theta)$

A^{'} (θ) = \frac{d}{d θ} A (θ)

$A'(\theta) = \frac d {d\theta} A(\theta)$

(†)

$(\dagger)$

E_{θ} [s (X)] = A^{'} (θ)

$E_\theta[s(X)] = A'(\theta)$

Kami sekarang menunjukkan ini membantu kami menghitung harapan yang diperlukan. Kita dapat menulis kepadatan gamma dengan tetap sebagai keluarga eksponensial Ini adalah keluarga eksponensial dalam sendiri dengan dan . Sekarang mengikuti segera dengan menghitung yang $\beta$

f_{θ} (x) = \frac{β^{α}}{Γ (α)} x^{α - 1} e^{- β x} = \exp {\log (x) α + α \log β - \log Γ (α) - β x} .

$f_\theta(x) = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\beta x} = \exp\left\{\log(x) \alpha + \alpha \log \beta - \log \Gamma(\alpha) - \beta x \right\}.$ $\alpha$

s (x) = \log x

$s(x) = \log x$

A (α) = \log Γ (α) - α \log β

$A(\alpha) = \log \Gamma(\alpha) - \alpha \log \beta$

\frac{d}{d α} A (α)

$\frac d {d\alpha} A(\alpha)$

E [\log X] = ψ (α) - \log β .

$E[\log X] = \psi(\alpha) - \log \beta.$

— orang
sumber

+1 Terima kasih telah menunjukkan generalisasi yang bagus ini.

— Whuber