Distribusi jumlah eksponensial

Membiarkan $X_1$ dan $X_2$ menjadi variabel acak eksponensial independen dan terdistribusi secara identik dengan rate $\lambda$ . Membiarkan $S_2 = X_1 + X_2$ .

T: Tunjukkan itu $S_2$ memiliki PDF $f_{S_2}(x) = \lambda^2 x \text{e}^{-\lambda x},\, x\ge 0$ .

Perhatikan bahwa jika peristiwa terjadi sesuai dengan Proses Poisson (PP) dengan tingkat $\lambda$ , $S_2$ akan mewakili waktu acara ke-2.

Pendekatan alternatif dihargai. Pendekatan yang disediakan umumnya digunakan ketika mempelajari teori antrian & proses stokastik.

Ingat distribusi Eksponensial adalah kasus khusus dari distribusi Gamma (dengan parameter bentuk $1$ ). Saya telah belajar ada versi yang lebih umum di sini yang dapat diterapkan.

— SecretAgentMan
sumber

Pertanyaan ini adalah kasus yang sangat khusus (dan salah satu contoh paling sederhana yang mungkin) dari sejumlah distribusi Gamma. (Eksponensial adalah distribusi Gamma dengan parameter bentuk

1.

$1.$ ) Dengan demikian, Anda dapat menerapkan salah satu jawaban di stats.stackexchange.com/questions/72479 .

— Whuber

Terima kasih. Saya tidak mengetahui pertanyaan yang lebih umum itu , meskipun saya tahu bahwa Eksponensial adalah distribusi Gamma dengan parameter bentuk 1. Saya harap Anda setuju bahwa T / A ini baik-baik saja apa adanya dan tidak boleh dihapus. Ini adalah pertanyaan yang sangat sering di beberapa disiplin ilmu teknik dan tentu saja lebih mudah diakses daripada langsung menambahkan distribusi Gamma.

— SecretAgentMan

@whuber Saya sudah memperbarui pertanyaan secara khusus menyebutkan pertanyaan yang lebih umum. Terima kasih.

— SecretAgentMan

Untuk alasan yang Anda berikan, dan karena Anda telah menawarkan akun yang jelas tentang solusi yang bekerja khusus dalam kasus ini, saya belum memilih untuk menutup ini sebagai duplikat.

— Whuber

Saya pikir pemungutan suara untuk pertanyaan Anda dan jawaban Anda telah dengan jelas menunjukkan apa pendapat komunitas tentang utas ini. :-)

— whuber

Conditioning Approach
Kondisi pada nilai $X_1$ . Mulai dengan fungsi distribusi kumulatif (CDF) untuk $S_2$ .

$\begin{align} F_{S_2}(x) &= P(S_2\le x) \\ &= P(X_1 + X_2 \le x) \\ &= \int_0^\infty P(X_1+X_2\le x|X_1=x_1)f_{X_1}(x_1)dx_1 \\ &= \int_0^x P(X_1+X_2\le x|X_1=x_1)\lambda \text{e}^{-\lambda x_1}dx_1 \\ &= \int_0^x P(X_2 \le x - x_1)\lambda \text{e}^{-\lambda x_1}dx_1 \\ &= \int_0^x\left(1-\text{e}^{-\lambda(x-x_1)}\right)\lambda \text{e}^{-\lambda x_1}dx_1\\ &=(1-e^{-\lambda x}) - \lambda x e^{-\lambda x}\end{align}$

Ini adalah CDF dari distribusi. Untuk mendapatkan PDF, bedakan sehubungan dengan $x$ ( lihat disini ).

f_{S_{2}} (x) = λ^{2} x e^{- λ x} ◻

$f_{S_2}(x) = \lambda^2 x \text{e}^{-\lambda x} \quad\square$

Ini adalah Erlang $(2,\lambda)$ distribusi (lihat di sini) .

Pendekatan Umum
Integrasi langsung dengan mengandalkan independensi PT $X_1$ & $X_2$ . Sekali lagi, mulailah dengan fungsi distribusi kumulatif (CDF) untuk $S_2$ .

$\begin{align} F_{S_2}(x) &= P(S_2\le x) \\ &= P(X_1 + X_2 \le x) \\ &= P\left( (X_1,X_2)\in A \right) \quad \quad \text{(See figure below)}\\ &= \int\int_{(x_1,x_2)\in A} f_{X_1,X_2}(x_1,x_2)dx_1 dx_2 \\ &(\text{Joint distribution is the product of marginals by independence}) \\ &= \int_0^{x} \int_0^{x-x_{2}} f_{X_1}(x_1)f_{X_2}(x_2)dx_1 dx_2\\ &= \int_0^{x} \int_0^{x-x_{2}} \lambda \text{e}^{-\lambda x_1}\lambda \text{e}^{-\lambda x_2}dx_1 dx_2\\ \end{align}$

Karena ini adalah CDF, diferensiasi memberikan PDF, $f_{S_2}(x) = \lambda^2 x \text{e}^{-\lambda x} \quad\square$

Pendekatan MGF Pendekatan
ini menggunakan fungsi penghasil momen (MGF).

$\begin{align} M_{S_2}(t) &= \text{E}\left[\text{e}^{t S_2}\right] \\ &= \text{E}\left[\text{e}^{t(X_1 + X_2)}\right] \\ &= \text{E}\left[\text{e}^{t X_1 + t X_2}\right] \\ &= \text{E}\left[\text{e}^{t X_1} \text{e}^{t X_2}\right] \\ &= \text{E}\left[\text{e}^{t X_1}\right]\text{E}\left[\text{e}^{t X_2}\right] \quad \text{(by independence)} \\ &= M_{X_1}(t)M_{X_2}(t) \\ &= \left(\frac{\lambda}{\lambda-t}\right)\left(\frac{\lambda}{\lambda-t}\right) \quad \quad t<\lambda\\ &= \frac{\lambda^2}{(\lambda-t)^2} \quad \quad t<\lambda \end{align}$

While this may not yield the PDF, once the MGF matches that of a known distribution, the PDF also known.

— SecretAgentMan
sumber

You wrote both the question and the answer. What is your point, if I may ask?

— Xi'an

@Xi'an, I thought SE encouraged asking the question and answering it...I can screenshot where SE seems to encourage that for you if you want. I've seen a lot of basic questions repeatedly asked and I've been thinking about posting some specific approaches to refer people to. I wasn't able to find something like this and I can refer people to this for a variety of things. If the CV community really hates this post that much, I will voluntarily delete it.

— SecretAgentMan

@Xi'an, Respectfully, I believe you both asked and answered a question here.

— SecretAgentMan

@Xi'an You may wish to read stats.stackexchange.com/help/self-answer

— Sycorax says Reinstate Monica

@Alex good question. I wasn't thinking about getting PDF analytically from MGF. Instead, if you identify the MGF, then you've solved the problem (see my edit).

— SecretAgentMan