Bagaimana cara membuktikan tidak ada ruang fitur berdimensi terbatas untuk kernel Gaussian RBF?

Bagaimana membuktikan bahwa untuk fungsi basis radial tidak ada fitur ruang terbatas dimensiHsehingga untuk beberapaΦ:Rn→Hkita memilikik(x,y)=⟨Φ(x),Φ(y)⟩?$k(x, y) = \exp(-\frac{||x-y||^2)}{2\sigma^2})$$H$$\Phi: \text{R}^n \to H$$k(x, y) = \langle \Phi(x), \Phi(y)\rangle$

The Moore-Aronszajn teorema menjamin bahwa kernel definit positif simetrik adalah terkait dengan reproduksi yang unik kernel ruang Hilbert. (Perhatikan bahwa meskipun RKHS unik, pemetaannya sendiri tidak.)

Oleh karena itu, pertanyaan Anda dapat dijawab dengan menunjukkan RKHS dimensi tak terbatas yang sesuai dengan kernel Gaussian (atau RBF). Anda dapat menemukan studi mendalam tentang hal ini di " Deskripsi eksplisit ruang kernel Hilbert reproduksi dari kernel Gaussian RBF ", Steinwart et al.

$k(x, y)$$X \times X$$X$$x_1, ..., x_m \in X$$(k(x_i, x_j))_{m \times m}$$\mathrm\Phi(x_1), ..., \mathrm\Phi(x_m)$$H$$k$