Distribusi normal standar pada subruang

Membiarkan $U \subset \mathbb{R}^n$ menjadi ruang vektor dengan $\dim(U)=d$ . Distribusi normal standar aktif $U$ adalah hukum vektor acak $X=(X_1, \ldots, X_n)$ mengambil nilai dalam $U$ dan sedemikian rupa sehingga koordinat $X$ jadi satu ( $\iff$ dalam) dasar ortonormal dari $U$ adalah vektor acak yang terbuat dari $d$ distribusi normal standar independen ${\cal N}(0, 1)$ .

Saat membaca pertanyaan ini, saya bertanya pada diri sendiri pertanyaan berikut. Membiarkan $Y=(Y_1, \ldots, Y_n)$ menjadi standar distribusi normal pada $\mathbb{R}^n$ . Apakah benar bahwa distribusi bersyarat $Y$ diberikan $Y \in U$ adalah distribusi normal standar pada $U$ ?

Norma kuadrat ${\Vert X \Vert}^2$ dari memiliki distribusi chi-square . Jadi, jika ini benar, itu akan menjelaskan klaim @ Argha. $X$ $\chi^2_d$

Maaf jika LaTeX salah ketik, saya tidak melihat rendering LaTeX :(

EDIT 01/10/2012: Oke saya mengerti. Tuliskan dekomposisi ortogonal dari dalam . Kemudian . Itu menunjukkan bahwa . Ini sedikit heuristik tetapi benar secara moral. Akhirnya jelas dari definisi yang adalah standar normal pada . $y=u+v$ $y$ $U\oplus U^\perp$

Pr (Y \in d y \cap Y \in U) = Pr (P_{U} Y \in d u)

$\Pr(Y\in \mathrm{d}y \cap Y \in U)=\Pr(P_U Y \in \mathrm{d}u)$

(Y ∣ Y \in U) \sim P_{U} Y

$(Y \mid Y \in U) \sim P_U Y$

P_{U} Y

$P_U Y$

U

$U$

normal-distribution conditioning

— Stéphane Laurent
sumber

Bukankah ini sangat jelas ketika Anda mencatat bahwa basis ortonormal untuk selalu dapat dibangun dengan memperluas basis ortonormal untuk ? (Satu bukti: gunakan Gram-Schmidt pada ekstensi apa pun, baik ortonormal atau tidak). Dalam basis ini PDF dapat dipisahkan dan fortiori adalah standar normal pada , QED.

R^{n}

$\mathbb{R}^n$

U

$U$

U

$U$

— Whuber

@whuber Tolong bisakah Anda menguraikan jawaban? Bagaimana Anda memperoleh distribusi bersyarat?

— Stéphane Laurent

Anda hanya melihatnya ! Ketika PDF benar-benar kontinu faktor , maka (a) dan adalah independen dan (b) dan adalah distribusi kondisional .

f (x, y)

$f(x,y)$

f_{x} (x) f_{y} (y)

$f_x(x)f_y(y)$

X

$X$

Y

$Y$

f_{x}

$f_x$

f_{y}

$f_y$

— Whuber

@whuber aku baru saja pulang kerja. Saya akan memikirkannya nanti. Terima kasih. Tentu saja saya percaya ini jelas tapi saya lelah.

— Stéphane Laurent

Iya. Anda memiliki bahwa adalah subruang dari . Misalkan dan menjadi matriks proyeksi ortogonal pada , sehingga simetris dan idempoten. Kemudian . Ini adalah distribusi normal tunggal, yang pada subruang adalah standar normal pada subruang itu. Sebagai distribusi tunggal, tidak memiliki kepadatan sehubungan dengan ukuran volume , tetapi memiliki kepadatan sehubungan dengan (rendah-dim) Volume ukuran pada . $U$ $\mathbb R^n$ $Y \sim \text{N}(0,I)$ $P$ $U$ $P$ $PY \sim \text{N}(P0,PIP^T) = \text{N}(0,P)$ $U$ $\mathbb R^n$ $U$

— kjetil b halvorsen
sumber

Saya tidak melihat di mana Anda membuktikan bahwa memiliki hukum yang sama dengan bergantung pada ?

P Y

$PY$

Y

$Y$

Y \in U

$Y \in U$

— Stéphane Laurent

Perhatikan bahwa secara abstrak, probabilitas bersyarat (benar-benar harapan, untuk mendapatkan ruang linear ...) adalah sebuah proyeksi! Jadi pendingin pada , ketika adalah ruang bagian linear, sama dengan memproyeksikan pada .

Y \in U

$Y \in U$

U

$U$

U

$U$

— kjetil b halvorsen

Maaf, tetapi klaim Anda tidak masuk akal.

— Stéphane Laurent

Itulah intuisi, bukti mungkin harus berbeda. Saya keluar dari waktu sekarang, tetapi catatan bahwa distribusi normal multivariat dapat ditentukan dengan menentukan (normal) distribusi semua kombinasi linear dari komponen . Ketika matriks kovarians adalah proyeksi , pilih sebagai basis ortonormal dari . dapat ditulis . Pilih sebagai koefisien untuk kombinasi linear pada , Anda akan melihat adalah satu. Pilih untuk koefisien yang panjang-satu vektor ortogonal ke , Anda akan melihat variansnya nol.

Y

$Y$

P

$P$

u_{1}, \dots, u_{k}

$u_1, \dots, u_k$

U

$U$

P

$P$

P = \sum u_{i} u_{i}^{T}

$P=\sum u_i u_i^T$

u_{i}

$u_i$

U

$U$

— kjetil b halvorsen

Jadi distribusi bertepatan dengan standar normal di , yang merupakan distribusi bersyarat dari diberikan .

P Y

$P Y$

U

$U$

Y

$Y$

Y \in U

$Y \in U$

— kjetil b halvorsen