Nilai yang diharapkan dari logaritma natural

22

Saya tahu dengan konstanta, jadi mengingat , mudah untuk dipecahkan. Saya juga tahu bahwa Anda tidak dapat menerapkannya ketika ini merupakan fungsi nonlinear, seperti dalam kasus ini , dan untuk menyelesaikannya, saya harus melakukan perkiraan dengan Taylor. Jadi pertanyaan saya adalah bagaimana cara menyelesaikan ?? apakah saya juga memperkirakan dengan Taylor? $E(aX+b) = aE(X)+b$ $a,b$ $E(X)$ $E(1/X) \neq 1/E(X)$ $E(\ln(1+X))$

mathematical-statistics

— Mat
sumber

4

Ya, Anda dapat menerapkan metode delta dalam kasus ini.

— Michael R. Chernick

5

Anda juga harus melihat Ketimpangan Jensen.

— kjetil b halvorsen

27

Di koran

YW Teh, D. Newman dan M. Welling (2006), Algoritma Inferensi Bayesian Variasional yang Runtuh untuk Alokasi Dirichlet Laten , NIPS 2006 , 1353–1360.

urutan kedua ekspansi Taylor sekitar digunakan untuk memperkirakan : $x_0=\mathbb{E}[x]$ $\mathbb{E}[\log(x)]$

E [\log (x)] \approx \log (E [x]) - \frac{V [x]}{2 E [x]^{2}} .

$\mathbb{E}[\log(x)]\approx\log(\mathbb{E}[x])-\frac{\mathbb{V}[x]}{2\mathbb{E}[x]^2} \>.$

Perkiraan ini tampaknya bekerja cukup baik untuk aplikasi mereka.

Memodifikasi ini sedikit agar sesuai dengan pertanyaan yang ada di tangan, dengan linearitas harapan,

E [\log (1 + x)] \approx \log (1 + E [x]) - \frac{V [x]}{2 (1 + E [x])^{2}} .

$\mathbb{E}[\log(1+x)]\approx\log(1+\mathbb{E}[x])-\frac{\mathbb{V}[x]}{2(1+\mathbb{E}[x])^2} \>.$

Namun, dapat terjadi bahwa sisi kiri atau kanan tidak ada sementara yang lain tidak, dan karenanya harus berhati-hati saat menggunakan perkiraan ini.

— pengguna1149913
sumber

3

Menariknya, ini dapat digunakan untuk mendapatkan perkiraan terhadap fungsi digamma.

— probabilityislogic

6

Juga, jika Anda tidak memerlukan ekspresi yang tepat untuk , seringkali ikatan yang diberikan oleh ketidaksetaraan Jensen cukup baik: $\text{E}[\log(X + 1)]$

\log [E (X) + 1] \geq E [\log (X + 1)]

$\log [\text{E}(X) + 1] \geq\text{E}[\log(X + 1)]$

— dsaxton
sumber

hanya ingin menambahkan: jika tidak ada perhitungan langsung yang mungkin dan Anda melihat satu variabel

, ketidaksetaraan jensen adalah tentang satu-satunya pilihan Anda untuk mendapatkan hasil yang bermanfaat. sementara perkiraan taylor yang disarankan mungkin memang bekerja dalam praksis, tidak ada pembenaran teoretis yang dapat digunakan untuk memotivasi penghapusan istilah-istilah lainnya. (yang dikatakan: perlu diingat bahwa rangkaian taylor tak terbatas dari ln (1 + x) tetap menyatu hanya dalam radius | x | <1).

X

$X$

— chRrr

Saya pikir itu harus

sejak

cekung.

\geq

$\ge$

\log

$\log$

— Deep North

5

Misalkan memiliki kepadatan probabilitas . Sebelum Anda mulai mendekati, ingat bahwa, untuk fungsi terukur , Anda dapat membuktikan bahwa $X$ $f_X$ $g$ dalam arti bahwa jika integral pertama ada, begitu juga yang kedua, dan mereka memiliki nilai yang sama.

E [g (X)] = \int g (X) d P = \int_{- \infty}^{\infty} g (x) f_{X} (x) d x,

$E[g(X)]=\int g(X)\,dP = \int_{-\infty}^\infty g(x)\,f_X(x)\,dx \, ,$

— Zen
sumber

1

g (x) = x^{2}

$g(x)=x^2$

E [| g (X) |] < \infty

$E[|g(X)|]<\infty$

2

g (x) = x

$g(x)=x$

2

@prob: Tidak, Anda tidak memerlukan kondisi itu dalam komentar pertama Anda, dan bahkan dalam situasi yang mungkin sangat relevan dengan pertanyaan ini! (+1 untuk komentar kedua Anda , yang merupakan sesuatu yang juga ingin saya komentari.)

— kardinal

2

@prob: Sudah cukup , tetapi jika Anda membandingkan komentar pertama Anda dengan yang kedua, Anda akan melihat mengapa itu tidak perlu ! :-)

— kardinal

4

Ada dua pendekatan yang biasa:

$X$ $\ln(1+X)$ $\ln(1+x) f_{X}(x)$ $x$
Seperti yang Anda sarankan, jika Anda tahu beberapa saat pertama Anda dapat menghitung perkiraan Taylor.

— Glen_b -Reinstate Monica
sumber