Kemungkinan

9

Misalkan dan adalah variabel acak geometris independen dengan parameter . Berapa probabilitas ? $X_1$ $X_2$ $p$ $X_1 \geq X_2$

Saya bingung tentang pertanyaan ini karena kami tidak diberi tahu apa pun tentang dan selain geometris. Tidakkah ini menjadi karena dan dapat berupa apa saja dalam rentang tersebut? $X_1$ $X_2$ $50\%$ $X_1$ $X_2$

EDIT: Upaya baru

$P(X1 ≥ X2) = P(X1 > X2) + P(X1 = X2)$

$P(X1 = X2)$ = = $\sum_{x}$ $(1-p)^{x-1}p(1-p)^{x-1}p$ $\frac{p}{2-p}$

$P(X1 > X2)$ = $P(X1 < X2)$ dan $P(X1 < X2) + P(X1 > X2) + P(X1 = X2) = 1$

Oleh karena itu, $P(X1 > X2)$ = $\frac{1-P(X1 = X2)}{2}$ = $\frac{1-p}{2-p}$
Menambahkan $P(X1 = X2)=\frac{p}{2-p}$ untuk itu, saya mendapatkan $P(X1 ≥ X2)$ = $\frac{1}{2-p}$

Apakah ini benar?

self-study random-variable geometric-distribution

— IrCa
sumber

3

Silakan tambahkan tag 'belajar sendiri'.

— StubbornAtom

1

Sebenarnya karena X1dan X2merupakan variabel diskrit, persamaan membuat segalanya menjadi kurang jelas.

— usεr11852

13

Tidak boleh karena $50\%$ $P(X_1=X_2)>0$

Satu pendekatan:

Pertimbangkan tiga peristiwa dan , yang mempartisi ruang sampel. $P(X_1>X_2), P(X_2>X_1)$ $P(X_1=X_2)$

Ada hubungan yang jelas antara dua yang pertama. Tulis ekspresi untuk yang ketiga dan sederhanakan. Karena itu pecahkan pertanyaan.

— Glen_b -Reinstate Monica
sumber

Saya mengedit, posting saya dengan jawaban baru saya. Bisakah Anda melihatnya dan melihat apakah itu benar?

— IrCa

1

Ya, jawaban Anda terlihat benar. Metode alternatif (menggunakan ide yang serupa) akan mencatat bahwa (sekali lagi, mengeksploitasi simetri / pertukaran dan ).

P (X_{1} \geq X_{2}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} P (X_{1} = X_{2})

$P(X_1\geq X_2)=\frac12 + \frac12 P(X_1=X_2)$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

— Glen_b -Reinstate Monica

6

Jawaban Anda, mengikuti saran Glen, benar. Cara lain, yang kurang elegan, hanya untuk kondisi:

\begin{aligned} Pr {X_{1} \geq X_{2}} & = \sum_{k = 0}^{\infty} Pr {X_{1} \geq X_{2} ∣ X_{2} = k} Pr {X_{2} = k} \\ = \sum_{k = 0}^{\infty} \sum_{ℓ = k}^{\infty} Pr {X_{1} = ℓ} Pr {X_{2} = k} . \end{aligned}

$\begin{align} \Pr\{X_1\geq X_2\} &= \sum_{k=0}^\infty \Pr\{X_1\geq X_2\mid X_2=k\} \Pr\{X_2=k\} \\ &= \sum_{k=0}^\infty \sum_{\ell=k}^\infty \Pr\{X_1=\ell\}\Pr\{X_2=k\}. \end{align}$

Ini akan memberi Anda , setelah menangani dua seri geometri. Cara Glen lebih baik. $1/(2-p)$

— Zen
sumber

4

perhatikan - cara Anda lebih baik untuk menerapkan ke masalah baru saya pikir. Karena didasarkan pada prinsip pertama. Trik / intuisi dari jawaban glen_b biasanya muncul setelah masalah diselesaikan dengan cara Anda

— probabilityislogic

3

@probabilityislogic Saya berbagi antusiasme Anda untuk derivasi dari "prinsip pertama." Namun, bagi ahli matematika modern, mencari dan mengeksploitasi simetri bahkan lebih mendasar daripada prinsip-prinsip pertama (definisi) yang Anda rujuk: kita mungkin menyebutnya sebagai prinsip matematika. Ini lebih dari sekadar "trik."

— whuber