Kapan dan menyiratkan ?

Pertanyaan:

$X_n\stackrel{d}{\rightarrow}X$ dan $Y_n\stackrel{d}{\rightarrow}Y \stackrel{?}{\implies} X_n+Y_n\stackrel{d}{\rightarrow}X+Y$

Saya tahu ini tidak berlaku secara umum; Teorema Slutsky hanya berlaku ketika satu atau kedua konvergensi dalam probabilitas.

Namun, ada kasus di mana ia tidak ditahan?

Misalnya, jika urutan dan independen. $X_n$ $Y_n$

— mai
sumber

Jawaban:

Memformalkan jawaban @Ben, independensi hampir merupakan kondisi yang cukup, karena kita tahu bahwa fungsi karakteristik dari jumlah dua RV independen adalah produk dari fungsi karakteristik marginal mereka. Biarkan . Di bawah independensi dan ,

Z_{n} = X_{n} + Y_{n}

$Z_n = X_n + Y_n$

X_{n}

$X_n$

Y_{n}

$Y_n$

ϕ_{Z_{n}} (t) = ϕ_{X_{n}} (t) ϕ_{Y_{n}} (t)

$\phi_{Z_n}(t) = \phi_{X_n}(t)\phi_{Y_n}(t)$

Begitu

lim ϕ_{Z_{n}} (t) = lim [ϕ_{X_{n}} (t) ϕ_{Y_{n}} (t)]

$\lim \phi_{Z_n}(t) =\lim \Big [\phi_{X_n}(t)\phi_{Y_n}(t)\Big]$

dan kami telah (karena kami menganggap bahwa dan bertemu) $X_n$ $Y_n$

lim [ϕ_{X_{n}} (t) ϕ_{Y_{n}} (t)] = lim ϕ_{X_{n}} (t) \cdot lim ϕ_{Y_{n}} (t) = ϕ_{X} (t) \cdot ϕ_{Y} (t)

$\lim \Big [\phi_{X_n}(t)\phi_{Y_n}(t)\Big] = \lim \phi_{X_n}(t)\cdot \lim \phi_{Y_n}(t) = \phi_{X}(t)\cdot \phi_{Y}(t)$

yang merupakan fungsi karakteristik ... jika independen. Dan mereka akan independen jika salah satu dari keduanya memiliki fungsi distribusi kontinu ( lihat posting ini ). Ini adalah kondisi yang diperlukan selain independensi urutan, sehingga independensi dipertahankan pada batas. $X+Y$ $X+Y$

Tanpa kemerdekaan kita akan memiliki

ϕ_{Z_{n}} (t) \neq ϕ_{X_{n}} (t) ϕ_{Y_{n}} (t)

$\phi_{Z_n}(t) \neq \phi_{X_n}(t)\phi_{Y_n}(t)$

dan tidak ada pernyataan umum tentang batas tersebut.

— Alecos Papadopoulos
sumber

Jawaban bagus (+1). Saya pikir dengan metode ini, juga patut dicatat bahwa asumsi yang lebih lemah (independensi asimptotik) langsung menuju ke langkah kedua Anda dan juga memberi Anda hasilnya . Ini menunjukkan bahwa independensi asimptotik cukup untuk properti yang diinginkan.

lim ϕ_{Z_{n}} = lim ϕ_{X_{n}} ϕ_{Y_{n}}

$\lim \phi_{Z_n} = \lim \phi_{X_n} \phi_{Y_n}$

— Ben - Pasang kembali Monica

The Cramer-Wold Teorema memberikan syarat perlu dan cukup:

Biarkan menjadi urutan variabel acak bernilaiKemudian, $\{z_n\}$ $R^K$

z_{n} \to_{d} z ⟺ λ^{'} z_{n} \to_{d} λ^{'} z \forall λ \in R^{K} ∖ {0}

$z_n \to_d z\;\Longleftrightarrow\;\lambda'z_n\to_d \lambda'z\quad\forall\quad \lambda\in R^K\backslash\{0\}$

Untuk memberikan contoh, izinkan dan tentukan dan juga . Kami kemudian secara sepele memiliki dan, karena simetri dari distribusi normal standar, bahwa Namun, tidak konvergen dalam distribusi, karena Ini adalah aplikasi dari Perangkat Cramer-Wold untuk . $U\sim N(0,1)$ $W_n:=U$ $V_n:=(-1)^nU$

W_{n} \to_{d} U

$W_n\to_d U$

V_{n} \to_{d} U .

$V_n\to_d U.$

W_{n} + V_{n}

$W_n+V_n$

W_{n} + V_{n} = {\begin{cases} 2 U \sim N (0, 4) & for n even \\ 0 & for n odd \end{cases}

$W_n+V_n=\begin{cases}2U\sim N(0,4)&\text{for}\;n\;\text{even}\\ 0&\text{for}\;n\;\text{odd}\end{cases}$

λ = (1, 1)^{'}

$\lambda=(1,\;1)'$

— Christoph Hanck
sumber

Ya, independensi sudah mencukupi: Kondisi anteseden di sini menyangkut konvergensi dalam distribusi untuk distribusi marginal dari dan . Alasan bahwa implikasinya tidak berlaku secara umum adalah bahwa tidak ada dalam kondisi anteseden yang berhubungan dengan ketergantungan statistik antara elemen-elemen dari dua sekuens. Jika Anda memaksakan independensi dari urutan maka itu akan cukup untuk memastikan konvergensi dalam distribusi jumlah. $\{ X_n \}$ $\{ Y_n \}$

( Alecos telah menambahkan jawaban yang sangat baik di bawah ini yang membuktikan hasil ini menggunakan fungsi karakteristik. Independensi asimptotik juga cukup untuk implikasi ini, karena pembusukan yang sama membatasi fungsi karakteristik terjadi.)

— Ben - Pasang kembali Monica
sumber

Kemandirian urutan mungkin tidak cukup. Anda juga membutuhkan independensi dari dan membatasi . Jika urutannya independen tetapi Anda matang.

X

$X$

Y

$Y$

X = - Y

$X = -Y$

— pria

Kesimpulan bahwa adalah cdf dari Pada jawaban @Alecos bergantung pada kenyataan bahwa dan adalah independen. Jadi itu membutuhkan dan untuk menjadi independen, jika mode konvergensi adalah . Misalkan dan adalah iid , maka dan , tetapi sedangkan .

φ_{X} \cdot φ_{Y}

$\varphi_X \cdot \varphi_Y$

X + Y

$X + Y$

X

$X$

Y

$Y$

X

$X$

Y

$Y$

\overset{d}{\to}

$\stackrel{d}{\to}$

X_{n}

$X_n$

Y_{n}

$Y_n$

N (0, 1)

$N(0,1)$

X_{n} \overset{d}{\to} X_{1}

$X_n \stackrel d \to X_1$

Y_{n} \overset{d}{\to} - X_{1}

$Y_n \stackrel d \to -X_1$

X_{n} + Y_{n} \overset{d}{\to} N (0, 2)

$X_n + Y_n \stackrel d \to N(0,2)$

X + Y = 0

$X + Y = 0$

— pria

@Alecos Jika Anda setuju bahwa mereka konvergen ke maka Anda sepele setuju bahwa keduanya konvergen dalam distribusi ke menurut definisi. Keduanya juga menyatu dalam distribusi ke , dan ke semua variabel acak . Konvergensi dalam distribusi tidak seperti mode konvergensi lainnya, Anda dapat menyatu dalam distribusi ke berbagai variabel acak; variabel acak pembatas bahkan tidak perlu didefinisikan pada ruang probabilitas yang sama. Satu-satunya yang unik adalah distribusi marginal .

N (0, 1)

$N(0,1)$

X_{1}

$X_1$

- X_{1}

$-X_1$

N (0, 1)

$N(0,1)$

— pria

@Alecos dengan kata lain, perhatikan bahwa distribusi bahkan tidak didefinisikan dengan baik hanya dengan berbicara tentang urutan yang independen. Anda dapat memiliki dan tanpa membuat asumsi sama sekali tentang struktur ketergantungan dan , bahkan jika Anda membuat asumsi yang kuat tentang ketergantungan dan . Semua yang kami lakukan adalah ditembaki marginal dari dan .

X + Y

$X+Y$

X_{n} \to X

$X_n \to X$

Y_{n} \to Y

$Y_n \to Y$

X

$X$

Y

$Y$

X_{n}

$X_n$

Y_{n}

$Y_n$

X

$X$

Y

$Y$

— pria

Oh Saya rasa saya mengerti. Anda mengatakan bahwa saya perlu syarat tambahan tentang independensi dan untuk pernyataan asli saya dalam pertanyaan. Tolong beri tahu saya jika saya mengerti dengan benar.

X

$X$

Y

$Y$

— Mai