Hubungan antara independensi dan korelasi variabel acak seragam

Pertanyaan saya cukup sederhana: biarkan dan menjadi dua variabel acak seragam tidak berkorelasi pada . Apakah mereka mandiri?$X$$Y$$[-1,1]$

Saya mendapat kesan bahwa dua variabel acak dan tidak berkorelasi hanya perlu independen jika distribusi bersama mereka normal. Namun, saya tidak bisa membuat contoh tandingan untuk membantah klaim yang saya tanyakan. Harap berikan contoh balasan atau bukti.

Independen menyiratkan tidak berkorelasi tetapi implikasinya tidak berjalan sebaliknya.

Tidak berkorelasi menyiratkan kemerdekaan hanya dalam kondisi tertentu. misalnya jika Anda memiliki bivariat normal , itu adalah kasus yang tidak berkorelasi menyiratkan independen (seperti yang Anda katakan).

Mudah untuk membangun distribusi bivariat dengan margin seragam di mana variabel tidak berkorelasi tetapi tidak independen. Berikut ini beberapa contoh:

1. mempertimbangkan tambahan random variabel yang mengambil nilai-nilai masing-masing dengan probabilitas , independen . Lalu, biarkan .$B$$\pm 1$$\frac12$$X$$Y=BX$

2. ambil distribusi bivariat dari dua seragam independen dan potong menjadi 4 bagian dengan ukuran yang sama di setiap margin (menghasilkan lembar, masing-masing ukuran ). Sekarang ambil semua probabilitas dari 4 keping sudut dan 4 keping tengah dan masukkan secara merata ke dalam 8 keping lainnya.$4\times 4=16$$\frac12\times\frac12$

3. Biarkan .$Y = 2|X|-1$

Dalam setiap kasus, variabel tidak berkorelasi tetapi tidak independen (misalnya jika , apa ,?)$X=1$$P(-0.1<Y<0.1)\,$

Jika Anda menentukan beberapa keluarga tertentu dari distribusi bivariat dengan margin yang seragam, mungkin saja dalam formulasi itu satu-satunya yang tidak berkorelasi adalah independen. Maka menjadi tidak berkorelasi akan menyiratkan kemerdekaan.

Misalnya, jika Anda membatasi perhatian Anda untuk mengatakan Gaussian copula, maka saya pikir satu-satunya yang tidak berkorelasi memiliki margin independen; Anda dapat dengan mudah mengubah skala sehingga setiap margin aktif (-1,1).

Beberapa kode R untuk pengambilan sampel dan memplot bivariat ini (belum tentu efisien):

n <- 100000
x <- runif(n,-1,1)
b <- rbinom(n,1,.5)*2-1
y1 <-b*x
y2 <-ifelse(0.5<abs(x)&abs(x)<1,
       runif(n,-.5,.5),
       runif(n,0.5,1)*b
      )
y3 <- 2*abs(x)-1

par(mfrow=c(1,3))
plot(x,y1,pch=16,cex=.3,col=rgb(.5,.5,.5,.5))
plot(x,y2,pch=16,cex=.5,col=rgb(.5,.5,.5,.5))
abline(h=c(-1,-.5,0,.5,1),col=4,lty=3)
abline(v=c(-1,-.5,0,.5,1),col=4,lty=3)
plot(x,y3,pch=16,cex=.3,col=rgb(.5,.5,.5,.5))

(Dalam formulasi ini, $(Y_2, Y_3)$ memberi contoh keempat)

[Kebetulan dengan mengubah semua ini menjadi normal (yaitu mengubah $X$ untuk $\Phi^{-1}(\frac12(X+1))$dan sebagainya), Anda mendapatkan contoh variabel acak normal tidak berkorelasi yang tidak independen. Secara alami mereka tidak normal bersama.]