Apa yang salah dengan bukti saya tentang Hukum Varians Total?

9

Menurut Hukum Varians Total,

Var (X) = E (Var (X ∣ Y)) + Var (E (X ∣ Y))

$\operatorname{Var}(X)=\operatorname{E}(\operatorname{Var}(X\mid Y)) + \operatorname{Var}(\operatorname{E}(X\mid Y))$

Ketika mencoba membuktikannya, saya menulis

\begin{aligned} Var (X) & = E (X - E X)^{2} \\ = E {E [(X - E X)^{2} ∣ Y]} \\ = E (Var (X ∣ Y)) \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \operatorname{Var}(X) &= \operatorname{E}(X - \operatorname{E}X)^2 \\ &= \operatorname{E}\left\{\operatorname{E}\left[(X - \operatorname{E}X)^2\mid Y\right]\right\} \\ &= \operatorname{E}(\operatorname{Var}(X\mid Y)) \end{aligned} \end{equation}$

Apakah ada yang salah?

— nalzok
sumber

6

Baris ketiga salah, karena Anda tidak memiliki di baris kedua. Misalnya, jika adalah Bernoulli (1/2) dan adalah 1 jika adalah 1 dan -1 jika adalah 0, maka (ini yang Anda inginkan) karena benar-benar informatif tentang , tetapi apa yang Anda miliki akan memberi Anda . $\text{E}[X|Y]$ $Y$ $X$ $Y$ $Y$ $\text{E}[(X-\text{E}[X|Y])^2|Y] = 0$ $Y$ $X$ $\text{E}[(X-\text{E}[X])^2|Y] = \text{E}[(X-0)^2|Y] = \text{E}[X^2|Y] = 1 \ne 0$

Tidak akan bohong, Anda membuat saya mempertanyakan diri sendiri dan saya harus menatap ini sebentar sebelum saya tersadar meskipun saya harus membuktikan LOTV kepada diri sendiri satu miliar kali: P

— Sheridan Grant
sumber

9

Transisi dari baris kedua ke baris ketiga tidak mengikuti. Karena Anda memiliki: $\mathbb{E}(X) \neq \mathbb{E}(X|Y)$

E [(X - E (X))^{2} | Y] \neq E [(X - E (X | Y))^{2} | Y] = E [V (X | Y)] .

$\mathbb{E}[ (X - \mathbb{E}(X))^2 | Y ] \neq \mathbb{E}[ (X - \mathbb{E}(X|Y))^2 | Y ] = \mathbb{E}[ \mathbb{V}(X|Y) ].$

Dalam kasus khusus di mana untuk semua hasil kerja dan hasil Anda akan tahan, dan akan menjadi kasus khusus dari hasil yang lebih umum. $\mathbb{E}(X) = \mathbb{E}(X|Y=y)$ $y \in \mathbb{R}$

— Ben - Pasang kembali Monica
sumber

4

\begin{aligned} Var (X) & = E (X - E X)^{2} \\ = E (E [(X - E X)^{2} ∣ Y]) \\ \neq E (E [(X - E (X ∣ Y))^{2}] ∣ Y) \\ = E (Var (X ∣ Y)) \end{aligned}

$\require{cancel} \begin{aligned} \operatorname{Var}(X) &= \operatorname{E}(X - \operatorname{E}X)^2 \\ &= \operatorname{E}\left(\operatorname{E}\left[(X - \operatorname{E}X)^2\mid Y\right]\right) \\ &\ne \operatorname E\left( \operatorname E\left[ (X-\operatorname E(X\mid Y))^2 \right] \mid Y \right) \\ &= \operatorname{E}(\operatorname{Var}(X\mid Y)) \end{aligned}$

— Michael Hardy
sumber