Tautan antara fungsi yang menghasilkan momen dan fungsi karakteristik

Saya mencoba memahami hubungan antara fungsi yang menghasilkan momen dan fungsi karakteristik. Fungsi penghasil momen didefinisikan sebagai:

M_{X} (t) = E (\exp (t X)) = 1 + \frac{t E (X)}{1} + \frac{t^{2} E (X^{2})}{2!} + \dots + \frac{t^{n} E (X^{n})}{n!}

$M_X(t) = E(\exp(tX)) = 1 + \frac{t E(X)}{1} + \frac{t^2 E(X^2)}{2!} + \dots + \frac{t^n E(X^n)}{n!}$

Menggunakan seri ekspansi , Saya dapat menemukan semua momen distribusi untuk variabel acak X. $\exp(tX) = \sum_0^{\infty} \frac{(t)^n \cdot X^n}{n!}$

Fungsi karakteristik didefinisikan sebagai:

φ_{X} (t) = E (\exp (i t X)) = 1 + \frac{i t E (X)}{1} - \frac{t^{2} E (X^{2})}{2!} + \dots + \frac{(i t)^{n} E (X^{n})}{n!}

$\varphi_X(t) = E(\exp(itX)) = 1 + \frac{it E(X)}{1} - \frac{t^2 E(X^2)}{2!} + \ldots + \frac{(it)^n E(X^n)}{n!}$

Saya tidak sepenuhnya memahami informasi apa jumlah imajiner memberi saya lebih banyak. Saya melihat bahwa dan dengan demikian kita tidak hanya memiliki dalam fungsi karakteristik, tetapi mengapa kita perlu mengurangi momen dalam fungsi karakteristik? Apa ide matematika itu? $i$ $i^2 = -1$ $+$

— Giuseppe
sumber

Satu poin penting adalah bahwa fungsi penghasil momen tidak selalu terbatas! (Lihat pertanyaan ini , misalnya.) Jika Anda ingin membangun teori umum, katakanlah, tentang konvergensi dalam distribusi, Anda ingin dapat membuatnya berfungsi dengan objek sebanyak mungkin. Fungsi karakteristik, tentu saja, terbatas untuk setiap variabel acak sejak

| \exp (i t X) | \leq 1

$|\exp(itX)| \leq 1$

— kardinal

Kesamaan dalam ekspansi Taylor masih memungkinkan seseorang untuk membacakan momen, ketika mereka ada, tetapi perhatikan bahwa tidak semua distribusi memiliki momen, sehingga minat pada fungsi-fungsi ini jauh melampaui ini! :)

— kardinal

Poin lain yang perlu diperhatikan adalah bahwa MGF adalah transformasi Laplace dari variabel acak dan CF adalah transformasi Fourier. Ada hubungan mendasar antara transformasi integral ini, lihat di sini .

— tchakravarty

Saya pikir CF adalah transformasi fourier terbalik (dan bukan transformasi fourier) dari distribusi propability?

— Giuseppe

Perbedaannya hanya masalah tanda dalam eksponen, dan mungkin konstanta multiplikasi.

— Glen_b -Reinstate Monica

$1$

$E[e^{tX}]$ $t$ $g(z):=E[e^{zX}]$ for each complex number $z$ . Then we notice that $M_X(t)=g(t)$ and $\varphi_X(t)=g(it)$ .

— Davide Giraudo
sumber