Batas atas untuk kepadatan kopula?

The Fréchet-Hoeffding atas terikat berlaku untuk fungsi distribusi kerja penghubung dan diberikan oleh

C (u_{1}, . . ., u_{d}) \leq min {u_{1}, . ., u_{d}} .

$C(u_1,...,u_d)\leq \min\{u_1,..,u_d\}.$

Apakah ada kesamaan (dalam arti bahwa itu tergantung pada kepadatan marginal) batas atas untuk kepadatan kopula daripada CDF? $c(u_1,...,u_d)$

Referensi apa pun akan sangat dihargai.

— Coppola
sumber

Apa jenis ikatan yang Anda cari? Deskripsi masalah Anda yang sebenarnya mungkin bisa membantu. Secara teknis, jawabannya adalah "tidak" dengan dua cara yang berbeda: (i) mungkin tidak ada kepadatan (!) Dan (b) jika ada, kita bisa mengubahnya pada seperangkat ukuran nol menjadi sebesar kita d suka. Tapi kami tahu sesuatu . Secara khusus, misalkan

c

$c$ ada dan biarkan

R = [a_{1}, b_{1}] \times \dots \times [a_{n}, b_{n}] \subset [0, 1]^{d}

$R = [a_1,b_1] \times \dots \times [a_n,b_n] \subset \mathbb [0,1]^d$ akan berupa persegi panjang (hiper) dengan panjang sisi

w_{i} = b_{i} - a_{i}

$w_i = b_i - a_i$ . Kemudian, tentu saja

{e s s i n f}_{x \in R} c (x) \leq (min_{i} w_{i}) / \prod_{i} w_{i} .

$\mathrm{ess\,inf}_{x \in R} \,c(x) \leq (\min_i w_i) / \prod_i w_i \>.$

— kardinal

Karena Anda dapat dengan mudah membuat contoh yang memenuhi batasan ini, saya curiga tidak ada terlalu banyak yang bisa dikatakan. Tapi, saya belum memikirkan hal itu dengan cermat.

— kardinal

@ cardinal Terima kasih atas komentar Anda. Memang, saya berasumsi bahwa kepadatan ada untuk menghindari kasus sepele. Saya mencari batas atas dalam hal kepadatan marginal. Saya khususnya tertarik pada kopula Gaussian.

— Coppola

Jika ini adalah kopula, semua kepadatan marginal adalah seragam, yaitu fungsi konstan. :)

— kardinal

@ cardinal Maafkan bahasa Prancis saya. Biarkan saya ulangi pertanyaan saya. Gaussian copula (yang sangat saya minati) diberikan oleh . Di mana dan . Ini, misalnya, tidak dapat dibatasi oleh produk . Jadi, saya sedang mencari batas atas lain yang hanya melibatkan kaum marginal. Dan, tentu saja, saya mencoba untuk mengajukan pertanyaan secara lebih umum, menghubungkannya dengan batas-batas yang disebutkan di atas. Maaf atas kata-kata saya yang tidak jelas.

s (x_{1}, . . ., x_{d}; R) = \frac{1}{det (R)^{1 / 2}} \exp (- 0.5 u^{T} (R^{- 1} - I) u) \prod_{j = 1}^{d} f_{j} (x_{j})

$s(x_1,...,x_d;R)=\dfrac{1}{\mbox{det}(R)^{1/2}}\exp(-0.5 u^T(R^{-1}-I)u) \prod_{j=1}^d f_j(x_j)$

u = (u_{1}, . . ., u_{d})

$u=(u_1,...,u_d)$

u_{j} = Φ^{- 1} (F_{j} (x_{j}))

$u_j=\Phi^{-1}(F_j(x_j))$

\prod_{j = 1}^{n} f_{j} (x_{j})

$\prod_{j=1}^n f_j(x_j)$

— Coppola

Secara umum, tidak ada. Misalnya, dalam kasus kopula gaussian bivariat, kuantitas dalam eksponen memiliki titik sadel pada (0,0), dan karenanya meledak hingga tak terbatas dalam dua arah. Jika Anda menemukan kelas kepadatan kopula yang sebenarnya dibatasi, beri tahu saya!

— MHankin
sumber

Bisakah Anda mengklarifikasi apa yang Anda maksud dengan "kuantitas dalam eksponen"? Kehadiran "sadel" tampaknya tidak konsisten dengan definisi standar dari distribusi Gaussian.

— whuber

@whuber Kepadatan gaussian copula bukan gaussian standar. Jika Anda melihat komentar coppola di atas, Anda akan melihat kepadatan gaussian copula memiliki mana Anda hanya mengharapkan matriks kovarians terbalik. Matriks kovarians terbalik harus semi pasti definitif simetris, tetapi -I memungkinkan kepastian non-positif, dan karenanya merupakan titik pelana. Kehadirannya disebabkan oleh perubahan variabel saat mengkonversi dari ke

R^{- 1} - I

$R^{-1}-I$

R^{n}

$\mathbb{R}^n$

[0, 1]^{n}

$[0,1]^n$

— MHankin

Ya, saya sadar akan hal itu - tetapi bukan itu yang dimaksud oleh jawaban Anda. Kopula ini diparameterisasi oleh matriks korelasi , tetapi untuk apa pun itu hanya fungsi dari . Karena itu tidak pernah "meledak hingga tak terbatas". Tidak ada matriks korelasi valid (yaitu, yang tidak dihasilkan kembali) dimana kopula ini tidak terikat. Itulah alasan saya meminta klarifikasi atas jawaban Anda.

R

$R$

R

$R$

x_{i}

$x_i$

R

$R$

— whuber

@whuber Saya baru saja mengirimi Anda email versi yang dapat diedit dari tulisan saya yang lebih mendalam. Beri tahu saya jika menurut Anda tampilannya akurat, dalam hal ini saya akan menambahkannya ke jawaban saya di atas. [read_only_version] { overleaf.com/read/bkyjjtmmmnpb }

— MHankin