apa pdf produk dari dua variabel acak independen X dan Y, jika X dan Y independen? X terdistribusi normal dan Y terdistribusi chi-square.

Z = XY

jika memiliki distribusi normal dan memiliki distribusi Chi-square dengan derajat kebebasan $X$

X \sim N (μ_{x}, σ_{x}^{2})

$X\sim N(\mu_x,\sigma_x^2)$

f_{X} (x) = \frac{1}{σ_{x} \sqrt{2 π}} e^{- \frac{1}{2} (\frac{x - μ_{x}}{σ_{x}})^{2}}

$f_X(x)={1\over\sigma_x\sqrt{2\pi}}e^{-{1\over2}({x-\mu_x\over\sigma_x})^2}$

Y

$Y$

k

$k$

Y \sim χ_{k}^{2}

$Y\sim \chi_k^2$

f_{Y} (y) = \frac{y^{(k / 2) - 1} e^{- y / 2}}{2^{k / 2} Γ (\frac{k}{2})} u (y)

$f_Y(y)={y^{(k/2)-1}e^{-y/2}\over{2^{k/2}\Gamma({k\over2})}}u(y)$ whreadalah fungsi tangga satuan.

u (y)

$u(y)$

Sekarang, apa pdf dari jika dan $Z$ $X$ independen? $Y$

Salah satu cara untuk menemukan solusinya adalah dengan menggunakan hasil Rohatgi yang terkenal (1976, hal.141) jika menjadi pdf gabungan RV berkelanjutan dan , pdf adalah $f_{XY}(x,y)$ $X$ $Y$ $Z$

f_{Z} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{| y |} f_{X Y} (\frac{z}{y}, y) d y

$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty}{{1\over|y|}f_{XY}({z\over y},y)dy}$

karena, dan adalah independen $X$ $Y$ $f_{XY}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$

f_{Z} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{| y |} f_{X} (\frac{z}{y}) f_{Y} (y) d y

$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty}{{1\over|y|}f_{X}({z\over y})f_{Y}(y)dy}$

Di mana kita menghadapi masalah penyelesaian integral

f_{Z} (z) = \frac{1}{σ_{x} \sqrt{2 π}} \frac{1}{2^{k / 2} Γ (\frac{k}{2})} \int_{0}^{\infty} \frac{1}{| y |} e^{- \frac{1}{2} (\frac{\frac{z}{y} - μ_{x}}{σ_{x}})^{2}} y^{(k / 2) - 1} e^{- y / 2} d y

$f_Z(z) = {1\over\sigma_x\sqrt{2\pi}}{1\over{2^{k/2}\Gamma({k\over2})}}\int_{0}^{\infty}{{1\over|y|}e^{-{1\over2}({{z\over y}-\mu_x\over\sigma_x})^2} {y^{(k/2)-1}e^{-y/2}}dy}$

. Adakah yang bisa membantu saya dengan masalah ini.

\int_{0}^{\infty} \frac{1}{| y |} e^{- \frac{1}{2} (\frac{\frac{z}{y} - μ_{x}}{σ_{x}})^{2}} y^{(k / 2) - 1} e^{- y / 2} d y

$\int_{0}^{\infty}{{1\over|y|}e^{-{1\over2}({{z\over y}-\mu_x\over\sigma_x})^2} {y^{(k/2)-1}e^{-y/2}}dy}$

apakah ada cara alternatif untuk menyelesaikan ini?

normal-distribution chi-squared random-variable

— robin
sumber

Langkah terakhir itu tampaknya tidak tepat. "

"tampaknya berarti

, tetapi - yang lebih penting - Anda tidak bisa hanya mengubah batas bawah ke

: Anda perlu memecah integral menjadi dua yang terpisah pada

, ubah

untuk yang di kisaran negatif , dan kemudian menggabungkan keduanya, saya percaya ini dapat membuat integrasi integrasi: tampaknya memberikan kombinasi linear dari fungsi hypergeometric umum.

f_{\frac{X}{Y}}

$f_\frac{X}{Y}$

f_{X}

$f_X$

0

$0$

0

$0$

y \to - y

$y\to -y$

— whuber

Ya, itu adalah kesalahan

harus

f_{\frac{Z}{Y}} (\frac{z}{y})

$f_{Z\over Y}({z\over y})$

f_{X} (\frac{z}{y})

$f_X({z\over y})$

— Robin

Tapi saya kira mengubah batas bawah untuk 0 valid karena

adalah fungsi pada

yang ditandai dengan fungsi tangga satuan

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$

(0, \infty)

$(0,\infty)$

u (y)

$u(y)$

— Robin

Saya tidak lagi terlatih untuk perhitungan seperti ini ... tapi sepertinya tidak mungkin berakhir dengan formula tertutup. Jika Anda memerlukan ini untuk aplikasi praktis, saya pikir Anda harus fokus pada "cara menghitung ini secara efisien".

— Elvis

Apakah ada motivasi untuk pertanyaan ini? Normal dibagi dengan

adalah

Student , tetapi mengapa Anda mempertimbangkan Normal yang dikalikan atau dibagi dengan

χ

$\chi$

t

$t$

χ^{2}

$\chi^2$

— Xi'an

menyederhanakan istilah secara integral

$T=e^{-\frac{1}{2}((\frac{\frac{z}{y}-\mu_x}{\sigma_x} )^2 -y)} y^{k/2-2}$

temukan polinomial sedemikian rupa $p(y)$

$[p(y)e^{-\frac{1}{2}((\frac{\frac{z}{y}-\mu_x}{\sigma_x} )^2 -y)}]'=p'(y)e^{-\frac{1}{2}((\frac{\frac{z}{y}-\mu_x}{\sigma_x} )^2 -y)} + p(y) [-\frac{1}{2}((\frac{\frac{z}{y}-\mu_x}{\sigma_x} )^2 -y)]' e^{-\frac{1}{2}((\frac{\frac{z}{y}-\mu_x}{\sigma_x} )^2 -y)} = T$

yang mengurangi untuk menemukan sedemikian rupa sehingga $p(y)$

$p'(y) + p(y) [-\frac{1}{2}((\frac{\frac{z}{y}-\mu_x}{\sigma_x} )^2 -y)]' = y^{k/2-2}$

atau

$p'(y) -\frac{1}{2} p(y) (\frac{z \mu_x }{\sigma_x^2} y^{-2} \frac{z^2}{\sigma_x^2} y^{-3} -1)= y^{k/2-2}$

yang dapat dilakukan mengevaluasi semua kekuatan terpisah $y$

edit setelah komentar

Solusi di atas tidak akan berfungsi karena berbeda.

Namun, beberapa yang lain telah mengerjakan jenis produk ini.

Menggunakan transformasi Fourrier:

Schoenecker, Steven, dan Tod Luginbuhl. "Fungsi Karakteristik dari Produk Dua Variabel Acak Gaussian dan Produk dari Gaussian dan Variabel Acak Gamma." IEEE Signal Processing Letters 23.5 (2016): 644-647. http://ieeexplore.ieee.org/document/7425177/#full-text-section

$Z=XY$ $X \sim \mathcal{N}(0,1)$ $Y \sim \Gamma(\alpha,\beta)$

$\varphi_{Z} = \frac{1}{\beta^\alpha }\vert t \vert^{-\alpha} exp \left( \frac{1}{4\beta^2t^2} \right) D_{-\alpha} \left( \frac{1}{\beta \vert t \vert } \right)$

with $D_\alpha$ Whittaker's function ( http://people.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_686.htm )

Using Mellin transform:

Springer and Thomson have described more generally the evaluation of products of beta, gamma and Gaussian distributed random variables.

Springer, M. D., and W. E. Thompson. "The distribution of products of beta, gamma and Gaussian random variables." SIAM Journal on Applied Mathematics 18.4 (1970): 721-737. http://epubs.siam.org/doi/10.1137/0118065

They use the Mellin integral transform. The Mellin transform of $Z$ is the product of the Mellin transforms of $X$ and $Y$ (see http://epubs.siam.org/doi/10.1137/0118065 or https://projecteuclid.org/euclid.aoms/1177730201). In the studied cases of products the reverse transform of this product can be expressed as a Meijer G-function for which they also provide and prove computational methods.

They did not analyze the product of a Gaussian and gamma distributed variable, although you might be able to use the same techniques. If I try to do this quickly then I believe it should be possible to obtain an H-function (https://en.wikipedia.org/wiki/Fox_H-function ) although I do not directly see the possibility to get a G-function or make other simplifications.

$M\lbrace f_Y(x) \vert s \rbrace = 2^{s-1} \Gamma(\tfrac{1}{2}k+s-1)/\Gamma(\tfrac{1}{2}k)$

and

$M\lbrace f_X(x) \vert s \rbrace = \frac{1}{\pi}2^{(s-1)/2} \sigma^{s-1} \Gamma(s/2)$

you get

$M\lbrace f_Z(x) \vert s \rbrace = \frac{1}{\pi}2^{\frac{3}{2}(s-1)} \sigma^{s-1} \Gamma(s/2) \Gamma(\tfrac{1}{2}k+s-1)/\Gamma(\tfrac{1}{2}k)$

and the distribution of $Z$ is:

$f_Z(y) = \frac{1}{2 \pi i} \int_{c-i \infty}^{c+i \infty} y^{-s} M\lbrace f_Z(x) \vert s \rbrace ds$

which looks to me (after a change of variables to eliminate the $2^{\frac{3}{2}(s-1)}$ term) as at least a H-function

what is still left is the puzzle to express this inverse Mellin transform as a G function. The occurrence of both $s$ and $s/2$ complicates this. In the separate case for a product of only Gaussian distributed variables the $s/2$ could be transformed into $s$ by substituting the variable $x=w^2$ . But because of the terms of the chi-square distribution this does not work anymore. Maybe this is the reason why nobody has provided a solution for this case.

— Sextus Empiricus
sumber

... which yields ...?

— wolfies

it gives the antiderivative of the term in the integral that is to be solved according to the question

— Sextus Empiricus

It is unclear what progress this analysis represents. Do you obtain a solution or not?

— whuber

Menemukan koefisien polinomial

p (y)

$p(y)$ (yang menutup solusinya) adalah tugas yang membosankan, tetapi langsung, yang saya biarkan terbuka. Saya akan segera memasukkan beberapa contoh untuk beberapa

k

$k$ .

— Sextus Empiricus

pdf produk dari dua variabel acak independen, normal dan chi-square

edit setelah komentar

Menggunakan transformasi Fourrier:

Using Mellin transform: