"Peakedness" dari fungsi kepadatan probabilitas miring

11

Saya ingin menggambarkan "puncaknya" dan ekor "berat" dari beberapa fungsi kepadatan probabilitas miring.

Fitur yang ingin saya gambarkan, apakah mereka disebut "kurtosis"? Saya hanya melihat kata "kurtosis" yang digunakan untuk distribusi simetris?

— pengguna1375871
sumber

15

Memang, ukuran kurtosis biasanya diterapkan pada distribusi simetris. Anda dapat menghitungnya untuk yang miring juga tetapi interpretasi berubah karena nilai ini bervariasi ketika asimetri diperkenalkan. Padahal, kedua konsep ini sulit dipisahkan. Baru-baru ini, ukuran kurtosis skewness-invariant diusulkan dalam makalah ini .

Kurtosis tinggi dikaitkan dengan peakedness dan tailedness yang berat (ini juga ditandai sebagai 'kurangnya bahu'). Salah satu volume Kendall dan Stuart membahas masalah ini secara panjang lebar. Tetapi interpretasi seperti itu, seperti yang Anda perhatikan, umumnya diberikan dalam situasi hampir simetri. Dalam kasus nonsimetrik, momen ke-4 terstandarisasi biasanya sangat berkorelasi dengan kuadrat dari momen ke-3 terstandarisasi, jadi mereka kebanyakan mengukur hal yang hampir sama.

— Glen_b -Reinstate Monica

Memang, mengingat cara khusus saya mengutarakannya dalam komentar saya sebelumnya, itu benar bahkan dari distribusi simetris - kuadrat sampel standar momen ketiga (skewness momen kuadrat) sangat berkorelasi dengan sampel momen standar keempat ('kurtosis'), bahkan di katakan normal.

— Glen_b -Reinstate Monica

3

Dengan varians yang didefinisikan sebagai momen kedua , kemiringan didefinisikan sebagai momen ketiga dan kurtosis didefinisikan sebagai momen keempat , dimungkinkan untuk menggambarkan sifat-sifat dari berbagai distribusi simetris dan non-simetris dari data. $\mu_{2}$ $\mu_{3}$ $\mu_{4}$

Teknik ini pada awalnya dideskripsikan oleh Karl Pearson pada tahun 1895 untuk apa yang disebut Pearson Distributions I hingga VII. Ini telah diperpanjang oleh Egon S Pearson (tanggal tidak pasti) seperti yang diterbitkan dalam Hahn dan Shapiro pada tahun 1966 ke berbagai distribusi simetris, asimetris dan berekor berat yang mencakup Seragam, Normal, Siswa-t, Lognormal, Eksponensial, Gamma, Beta, Beta J dan Beta U. Dari bagan hal. 197 dari Hahn dan Shapiro, dan dapat digunakan untuk membangun deskriptor untuk skewness dan kurtosis sebagai: $B_{1}$ $B_{2}$

$\mu_{3} = \sqrt {B_{1}\ \mu_{2}^{3}}$
$\mu_{4} = B_{2}\ \mu_{2}^{2}$

Jika Anda hanya menginginkan deskriptor relatif sederhana maka dengan menerapkan konstanta kemiringannya dan kurtosisnya adalah . $\mu_{2} = 1$ $\sqrt {B_{1}}$ $B_{2}$

Kami telah mencoba untuk meringkas bagan ini di sini sehingga dapat diprogram, tetapi lebih baik untuk meninjaunya dalam Hahn dan Shapiro (hal. 42-49.122-132.197). Dalam arti tertentu kami menyarankan sedikit teknik reverse dari grafik Pearson, tetapi ini bisa menjadi cara untuk mengukur apa yang Anda cari.

— AsymLabs
sumber

3

Masalah utama di sini adalah, apa itu "peakedness"? Apakah kelengkungan pada puncak (turunan ke-2?) Apakah diperlukan standarisasi terlebih dahulu? (Anda mungkin berpikir begitu, tetapi ada aliran literatur yang dimulai dengan Proschan, Ann. Matematika. Statistik. Volume 36, Nomor 6 (1965), 1703-1706, yang mendefinisikan puncak dengan cara yang normal dengan varian yang lebih kecil lebih ") berpuncak runcing"). Atau apakah konsentrasi probabilitas dalam deviasi standar rata-rata, seperti tersirat dalam Balanda dan Macgillivray (The American Statistician, 1988, Vol 42, 111-119)? Setelah Anda menentukan definisi, maka itu harus sepele untuk menerapkannya. Tetapi saya akan bertanya, "mengapa kamu peduli?" Dari relevansi apa "puncaknya", bagaimanapun didefinisikan?

BTW, kurtosis Pearson hanya mengukur ekor, dan tidak mengukur definisi "memuncak" yang disebutkan di atas. Anda dapat mengubah data atau distribusi dalam deviasi standar rata-rata sebanyak yang Anda inginkan (menjaga batasan mean = 0 dan varians = 1), tetapi kurtosis hanya dapat berubah dalam kisaran maksimum 0,25 (biasanya jauh lebih sedikit). Jadi Anda dapat mengesampingkan penggunaan kurtosis untuk mengukur puncaknya untuk distribusi apa pun, meskipun kurtosis memang merupakan ukuran ekor untuk distribusi apa pun, tidak peduli apakah distribusinya simetris, asimetris, diskrit, kontinyu, campuran diskrit / kontinu, atau empiris. Kurtosis mengukur ekor untuk semua distribusi, dan hampir tidak ada tentang puncak (bagaimanapun didefinisikan).

— Peter Westfall
sumber

1

Suatu pendekatan yang sangat praktis mungkin dapat menghitung rasio fungsi kelangsungan hidup dari distribusi terhadap yang normal, menunjukkan bahwa itu jauh lebih besar. Pendekatan lain dapat menghitung rasio persentil dari distribusi dengan bunga dan membaginya dengan nilai kuantil normal, , . $\Pr\left(\tilde X \gt 1- \alpha \right)$ $w_1=\frac{\tilde{x_{99}}-\tilde{x_{50}}}{\tilde{x_{75}}-\tilde{x_{50}}}$ $\tilde x$ $w_2=\frac{\tilde{\Phi_{99}}-\tilde{\Phi_{50}}}{\tilde{\Phi_{75}}-\tilde{\Phi_{50}}}$ $\tau=\frac{w_1}{w_2}$

— Giorgio Spedicato
sumber

0

Saya tidak yakin saya mendapatkan pemahaman Anda tentang puncak dan berat. Kurtosis berarti "Kelebihan" dalam bahasa Jerman, jadi itu menggambarkan "kepala" atau "puncak" dari suatu distribusi, menggambarkan apakah itu sangat lebar atau sangat sempit. Wikipedia menyatakan bahwa "peakedness" sebenarnya dijelaskan oleh "kurtosis", sedangkan peakedness tampaknya tidak menjadi kata yang nyata dan Anda harus menggunakan istilah "Kurtosis".

Jadi saya pikir Anda mungkin sudah melakukan semuanya dengan benar, kepala adalah Kurtosis, "bobot" ekor mungkin Skewness ":

Inilah cara Anda menemukannya:

a_{3} = \frac{Σ_{i = 1}^{N} (x_{i} - \bar{x})^{3}}{N * s_{x}^{3}}

$a_3 = \frac{\Sigma^{N}_{i=1}(x_i - \overline x)^3}{N * s^3_x}$

dengan s sebagai standar deviasi untuk x.

Nilai menunjukkan:

Kemiringan Negatif:

a_{3} < 0

$a_3 < 0$

Kemiringan Positif:

a_{3} > 0

$a_3 > 0$

Tidak Ada Kemiringan

a_{3} = 0

$a_3 = 0$

Anda bisa mendapatkan nilai untuk kurtosis dengan:

a_{4} = \frac{Σ_{i = 1}^{N} (x_{i} - \bar{x})^{4}}{N * s_{x}^{4}}

$a_4 = \frac{\Sigma^{N}_{i=1}(x_i - \overline x)^4}{N * s^4_x}$

Nilai menunjukkan:

Platycurtic:

a_{4} < 3

$a_4 < 3$

Leptocurtic:

a_{4} > 3

$a_4 > 3$

Normal:

a_{4} = 3.0

$a_4 = 3.0$

Apakah itu membantu?

— Johannes Hofmeister
sumber

3

Saya khawatir jawaban ini dalam bentuk saat ini mungkin kurang bermanfaat karena kesalahan di dalamnya. Skewness adalah ukuran standar asimetri . Ini tidak terkait erat dengan berat ekor: ekor mungkin sangat berat dan kemiringannya nol (yang merupakan kasus untuk distribusi simetris, misalnya). Harap perhatikan juga, bahwa tidak mungkin menjadi negatif, sehingga bagian kedua dari jawaban ini tidak masuk akal. (Mungkin Anda bingung tentang kurtosis dengan kelebihan kurtosis ?)

a_{4}

$a_4$

— whuber

1

Terima kasih telah mengklarifikasi. Mungkin memang ada beberapa kesalahan dalam rumus, saya hanya menyalinnya dari skrip yang mereka berikan di uni. Saya mengawasi fakta bahwa a4 tidak bisa negatif.

— Johannes Hofmeister

1

Saya mencari tahu mengapa jawaban saya salah - ini adalah kesalahan terjemahan, saya minta maaf untuk itu. Slide-slide saya semuanya dalam bahasa Jerman, mencampur Kurtosis dan Kelebihan .

— Johannes Hofmeister

@ Peter Seperti yang terus-menerus ditunjukkan oleh Peter Westfall, komentar Anda tidak benar: "peakedness" (dari mode apa pun), yang secara samar-samar dianggap sebagai runcing atau tinggi, sama sekali tidak ada hubungannya dengan ekor dari distribusi apa pun, juga tidak diukur dengan terbatas apa pun. kombinasi momen (seperti kurtosis). Mungkin kebetulan terhubung ke ekor ekor untuk keluarga distribusi, tapi itu masalah yang sama sekali berbeda.

— whuber

-1

Kurtosis jelas terkait dengan puncak kurva. Saya selanjutnya percaya bahwa Anda benar-benar mencari kurtosis yang memang ada apakah distribusinya simetris atau tidak. (user10525) sudah pasti mengatakannya dengan benar! Saya harap masalah Anda teratasi sekarang. Bagikan hasilnya, semua pendapat diterima.

— Vani
sumber

1

Saya tidak yakin bagaimana ini merupakan jawaban yang bermanfaat di luar apa yang sudah ditulis di sini. Bagaimana kalau Anda lebih mengembangkan kurtosis dan puncak kurva?

— Momo

Ingin memberikan klarifikasi yang jelas untuk kueri. Diskusi itu tampaknya membingungkan @Momo

— Vani