Apakah derajat kebebasan untuk tes Welch selalu kurang dari DF dari tes yang dikumpulkan?

Saya mengajar kursus tentang statistik dasar, dan kami melakukan uji-t untuk dua sampel independen dengan varian yang tidak sama (uji Welch). Dalam contoh yang saya lihat, derajat kebebasan yang disesuaikan yang digunakan oleh tes Welch selalu kurang dari atau sama dengan . $n_1+n_2-2$

Apakah ini selalu terjadi? Apakah tes Welch selalu mengurangi (atau membiarkan tidak berubah) derajat kebebasan dari t-test yang dikumpulkan (sama variannya)?

Dan pada subjek yang sama, jika standar deviasi sampel sama, apakah DF dari uji Welch berkurang menjadi ? Saya melihat formula, tetapi aljabarnya menjadi berantakan.$n_1+n_2-2$

Iya.

$$df'=\frac{\left(\frac{s^2_1}{n_1}+\frac{s^2_2}{n_2}\right)^2}{\frac{\left(\frac{s^2_1}{n_1}\right)^2}{n_1-1}+\frac{\left(\frac{s^2_2}{n_2}\right)^2}{n_2-1}}$$ $df'<df$$df'$$n_1-1$$n_2-1$$n_1+n_2-2~df$

Berikut adalah referensi 'resmi' (perhatikan bahwa penyesuaian di atas - yang biasanya digunakan - diturunkan di koran kedua):

• Welch, BL (1938). "Pentingnya perbedaan antara dua berarti ketika varians populasi tidak sama". Biometrika, 29, 3/4 , hlm. 350–62 .
• Satterthwaite, FE (1946). "Distribusi Perkiraan Perkiraan Komponen Varians". Buletin Biometrik, 2, 6 , hlm. 110–114 .
• Welch, BL (1947). "Generalisasi masalah" Mahasiswa "ketika beberapa varians populasi yang berbeda terlibat". Biometrika, 34, 1/2 , hlm. 28–35 .

(Googling dapat menghasilkan versi yang tidak sesuai ini.)