Jika pertandingan tenis adalah satu set besar, berapa banyak game yang akan memberikan akurasi yang sama?

Tenis memiliki sistem penilaian tiga tingkat yang aneh, dan saya ingin tahu apakah ini memiliki manfaat statistik, dari sudut pandang pertandingan sebagai percobaan untuk menentukan pemain yang lebih baik.

Bagi mereka yang tidak terbiasa, dalam aturan normal permainan dimenangkan oleh poin pertama hingga 4, asalkan Anda memiliki keunggulan 2 poin (yaitu jika skor 4-2 Anda menang, tetapi 4-3 Anda membutuhkan 1 poin lagi, dan pertahankan pergi sampai satu pemain unggul 2).

Satu set kemudian merupakan kumpulan game, dan satu set dimenangkan oleh yang pertama hingga 6, sekali lagi harus menang dengan 2, kecuali kali ini permainan tie-breaker khusus dimainkan alih-alih menjalankan (kecuali set final Wimbledon dll. ..)

Pertandingan dimenangkan oleh set pertama atau 2 set tergantung pada kompetisi.

Sekarang, tenis juga aneh karena permainannya tidak adil. Untuk setiap titik tertentu server memiliki keuntungan besar, oleh karena itu setiap permainan server bergantian.

Dalam permainan tie-breaker, serve bergantian setelah setiap poin, dan itu adalah yang pertama hingga 7 poin, sekali lagi dengan keunggulan 2 poin.

Mari kita asumsikan bahwa pemain A memiliki kemungkinan memenangkan poin pada serve dari dan ketika menerima . $p_s$ $p_r$

Pertanyaannya adalah ini, misalkan kita

A) baru saja bermain tenis sebagai pertandingan "best of N game" besar, berapa banyak game yang akan memberikan akurasi yang sama dengan tenis 5 set normal terbaik

B) baru saja bermain tenis sebagai permainan tiebreak besar, berapa banyak poin yang akan memberikan akurasi yang sama dengan tenis 5 set terbaik?

Jelas jawaban ini akan tergantung pada dan nilai-nilai mereka sendiri, sehingga juga akan baik untuk tahu $p_s$ $p_r$

C) Berapa jumlah permainan & poin yang diharapkan yang dimainkan dalam tenis normal, dengan asumsi , $p_s$ $p_r$

Mendefinisikan "Akurasi"

Jika kita mengasumsikan bahwa keterampilan kedua pemain tetap konstan, maka jika mereka bermain untuk waktu yang tidak terbatas, maka satu atau pemain lain akan menang hampir pasti, terlepas dari format permainannya. Pemain ini adalah pemenang yang "benar". Saya cukup yakin bahwa pemenang yang benar adalah pemain untuk siapa . $p_r+p_s > 1$

Format permainan yang lebih baik, adalah yang menghasilkan pemenang yang benar lebih sering, untuk jumlah poin yang sama dimainkan, atau sebaliknya menghasilkan pemenang yang benar dengan probabilitas yang sama dalam beberapa poin yang dimainkan.

probability inference games

— Corone
sumber

Hanya set ke-5 yang tidak memiliki tie-breaker di Wimbledon, Australia Terbuka, dan Prancis Terbuka. 4 set pertama dimainkan dengan tie-breaker.

— mpiktas

Apa sebenarnya yang Anda maksud dengan "akurasi"? Maksud Anda sesuatu seperti "seberapa sering pemain yang lebih baik menang?" Bagaimanapun, Anda membutuhkan empat parameter, bukan dua; Anda membutuhkan

dan

untuk setiap pemain, meskipun

dan sebaliknya. Jika beberapa pemain klub memainkan pemain kelas dunia, maka mungkin

. Saya pikir cara termudah untuk mencari tahu ini adalah melalui beberapa metode intensif komputer. Anda bisa memperkirakannya secara analitis, tetapi perhitungannya akan semakin intensif.

p_{s}

$p_s$

p_{r}

$p_r$

p 1_{s} = 1 - p 2_{r}

$p1_s = 1 - p2_r$

p 1_{s} = .01

$p1_s = .01$

p 1_{r} = .001

$p1_r = .001$

— Peter Flom - Reinstate Monica

Saya berpikir bahwa hubungan antara

dan keterampilan pemain bisa diabaikan, karena kami hanya ingin perbandingan antara metode pengukuran. Yaitu untuk setiap pencocokan yang diberikan jika

maka pemain 1 harus menang (yaitu kemampuan menang poin rata-rata mereka melebihi 50%). Turnamen yang lebih baik mencapai ini lebih sering.

p_{s / r}

$p_{s/r}$

p_{s} + p_{r} > 1

$p_s + p_r > 1$

— Corone

Dengan "akurasi yang sama" maksud Anda bahwa probabilitas keseluruhan pemain diberikan menang adalah sama dalam format baik (untuk tetap

dan

p_{s}

$p_s$

p_{r}

$p_r$

— Michael McGowan

Jika Anda memainkan game hingga poin, di mana Anda harus menang dengan , Anda dapat mengasumsikan para pemain memainkan 6 poin. Jika tidak ada pemain yang menang dengan , maka skor terikat , dan kemudian Anda bermain pasang poin sampai satu pemain memenangkan keduanya. Ini berarti peluang untuk memenangkan permainan menjadi poin, ketika peluang Anda untuk memenangkan setiap poin adalah , adalah $4$ $2$ $2$ $3-3$ $4$ $p$

p^{6} + 6 p^{5} (1 - p) + 15 p^{4} (1 - p)^{2} + 20 p^{3} (1 - p)^{3} \frac{p^{2}}{p^{2} + (1 - p)^{2}}

$p^6 + 6p^5(1-p) + 15p^4(1-p)^2 + 20 p^3(1-p)^3 \frac{p^2}{p^2 + (1-p)^2}$

Dalam permainan pria tingkat atas, mungkin sekitar untuk server. (Ini akan menjadi jika pria tidak mengurangi pada servis kedua.) Menurut formula ini, kesempatan untuk menahan servis adalah sekitar . $p$ $0.65$ $0.66$ $82.96\%$

Misalkan Anda memainkan tiebreak hingga poin. Anda dapat mengasumsikan bahwa poin dimainkan berpasangan di mana setiap pemain melayani satu dari setiap pasangan. Siapa yang melayani pertama kali tidak masalah. Anda dapat mengasumsikan para pemain memainkan poin. Jika mereka terikat pada titik itu, maka mereka bermain berpasangan hingga satu pemain memenangkan kedua pasangan, yang berarti peluang bersyarat untuk menang adalah . Jika saya menghitung dengan benar, peluang untuk memenangkan tiebreak menjadi $7$ $12$ $p_sp_r/(p_sp_r + (1-p_s)(1-p_r))$ $7$ poin adalah

6 p_{r}^{6} p s + 90 p_{r}^{5} p_{s}^{2} - 105 p_{r}^{6} p_{s}^{2} + 300 p_{r}^{4} p_{s}^{3} - 840 p_{r}^{5} p_{s}^{3} + 560 p_{r}^{6} p_{s}^{3} + 300 p_{r}^{3} p_{s}^{4} - 1575 p_{r}^{4} p_{s}^{4} + 2520 p_{r}^{5} p_{s}^{4} - 1260 p_{r}^{6} p_{s}^{4} + 90 p_{r}^{2} p_{s}^{5} - 840 p_{r}^{3} p_{s}^{5} + 2520 p_{r}^{4} p_{s}^{5} - 3024 p_{r}^{5} p_{s}^{5} + 1260 p_{r}^{6} p_{s}^{5} + 6 p_{r} p_{s}^{6} - 105 p_{r}^{2} p_{s}^{6} + 560 p_{r}^{3} p_{s}^{6} - 1260 p_{r}^{4} p_{s}^{6} + 1260 p_{r}^{5} p_{s}^{6} - 462 p_{r}^{6} p_{s}^{6} + \frac{p_{r} p_{s}}{p_{r} p_{s} + (1 - p_{r}) (1 - p_{s})} (p_{r}^{6} + 36 p_{r}^{5} p_{s} - 42 p_{r}^{6} p_{s} + 225 p_{r}^{4} p_{s}^{2} - 630 p_{r}^{5} p_{s}^{2} + 420 p_{r}^{6} p_{s}^{2} + 400 p_{r}^{3} p_{s}^{3} - 2100 p_{r}^{4} p_{s}^{3} + 3360 p_{r}^{5} p_{s}^{3} - 1680 p_{r}^{6} p_{s}^{3} + 225 p_{r}^{2} p_{s}^{4} - 2100 p_{r}^{3} p_{s}^{4} + 6300 p_{r}^{4} p_{s}^{4} - 7560 p_{r}^{5} p_{s}^{4} + 3150 p_{r}^{6} p_{s}^{4} + 36 p_{r} p_{s}^{5} - 630 p_{r}^{2} p_{s}^{5} + 3360 p_{r}^{3} p_{s}^{5} - 7560 p_{r}^{4} p_{s}^{5} + 7560 p_{r}^{5} p_{s}^{5} - 2772 p_{r}^{6} p_{s}^{5} + p_{s}^{6} - 42 p_{r} p_{s}^{6} + 420 p_{r}^{2} p_{s}^{6} - 1680 p_{r}^{3} p_{s}^{6} + 3150 p_{r}^{4} p_{s}^{6} - 2772 p_{r}^{5} p_{s}^{6} + 924 p_{r}^{6} p_{s}^{6})

$6 p_r^6 ps + 90 p_r^5 p_s^2 - 105 p_r^6 p_s^2 + 300 p_r^4 p_s^3 - 840 p_r^5 p_s^3 + 560 p_r^6 p_s^3 + 300 p_r^3 p_s^4 - 1575 p_r^4 p_s^4 + 2520 p_r^5 p_s^4 - 1260 p_r^6 p_s^4 + 90 p_r^2 p_s^5 - 840 p_r^3 p_s^5 + 2520 p_r^4 p_s^5 - 3024 p_r^5 p_s^5 + 1260 p_r^6 p_s^5 + 6 p_r p_s^6 - 105 p_r^2 p_s^6 + 560 p_r^3 p_s^6 - 1260 p_r^4 p_s^6 + 1260 p_r^5 p_s^6 - 462 p_r^6 p_s^6 + \frac{p_r p_s}{p_r p_s + (1-p_r)(1-p_s)}(p_r^6 + 36 p_r^5 p_s - 42 p_r^6 p_s + 225 p_r^4 p_s^2 - 630 p_r^5 p_s^2 + 420 p_r^6 p_s^2 + 400 p_r^3 p_s^3 - 2100 p_r^4 p_s^3 + 3360 p_r^5 p_s^3 - 1680 p_r^6 p_s^3 + 225 p_r^2 p_s^4 - 2100 p_r^3 p_s^4 + 6300 p_r^4 p_s^4 - 7560 p_r^5 p_s^4 + 3150 p_r^6 p_s^4 + 36 p_r p_s^5 - 630 p_r^2 p_s^5 + 3360 p_r^3 p_s^5 - 7560 p_r^4 p_s^5 + 7560 p_r^5 p_s^5 - 2772 p_r^6 p_s^5 + p_s^6 - 42 p_r p_s^6 + 420 p_r^2 p_s^6 - 1680 p_r^3 p_s^6 + 3150 p_r^4 p_s^6 - 2772 p_r^5 p_s^6 + 924 p_r^6 p_s^6)$

Jika maka peluang untuk memenangkan tie-breaker adalah sekitar . $p_s=0.65, p_r=0.36$ $51.67\%$

Selanjutnya, pertimbangkan satu set. Tidak masalah siapa yang melakukan servis terlebih dahulu, yang mana nyaman karena jika tidak kita harus mempertimbangkan memenangkan set sementara memiliki servis versys berikutnya memenangkan set tanpa menjaga servis. Untuk memenangkan set ke game, Anda dapat membayangkan bahwa game dimainkan terlebih dahulu. Jika skor terikat maka mainkan pertandingan lagi. Jika itu tidak menentukan pemenang, maka mainkan tie-breaker, atau di set kelima ulangi saja mainkan permainan. Biarkan menjadi probabilitas memegang servis, dan biarkan $6$ $10$ $5-5$ $2$ $p_h$ $p_b$ menjadi probabilitas mematahkan servis lawan Anda, yang dapat dihitung di atas dari probabilitas untuk memenangkan permainan. Kesempatan untuk memenangkan set tanpa tiebreak berikut rumus dasar yang sama seperti kesempatan untuk memenangkan tie-breaker, kecuali bahwa kita bermain untuk game bukan ke poin, dan kami ganti oleh dan oleh . $6$ $7$ $p_s$ $p_h$ $p_r$ $p_b$

Peluang bersyarat untuk memenangkan set kelima (set tanpa tie-breaker) dengan dan adalah . $p_s=0.65$ $p_r=0.36$ $53.59\%$

Kesempatan untuk memenangkan satu set dengan tie-breaker dengan dan adalah . $p_s=0.65$ $p_r=0.36$ $53.30\%$

Peluang untuk memenangkan pertandingan terbaik set, tanpa tie-breaker di set kelima, dengan dan adalah . $5$ $p_s=0.65$ $p_r=0.36$ $56.28\%$

$p_s=0.65, p_r=0.36$ $24$ $56.22\%$ $25$ $56.34\%$ $23$ $24$ $113$ $56.27\%$ $114$ $56.29\%$

Ini menunjukkan bahwa bermain satu set raksasa tidak lebih efisien daripada yang terbaik dari 5 pertandingan, tetapi bermain satu tie-breaker raksasa akan lebih efisien, setidaknya untuk pesaing yang cocok yang memiliki keunggulan melayani.

$51\%$

$13$ $57.51\%$ $45$ $4.115$ $4.115 \times 21.96 = 90.37$ $45$ $82.35$

$13$ $29$ $29$

$13-7 ~~ 12-13 ~~ 11-13$ $36$ $33$ $36$ $33$ ekor, Anda memiliki bukti bahwa kepala lebih mungkin daripada ekor, bukan bahwa ekor lebih mungkin daripada kepala. Jadi, yang terbaik dari tiga pertandingan tidak efisien karena membuang-buang informasi. Serangkaian pertandingan membutuhkan lebih banyak data rata-rata karena kadang-kadang penghargaan kemenangan untuk pemain yang telah memenangkan lebih sedikit pertandingan.

— Douglas Zare
sumber

Benar-benar luar biasa! Apakah ada lencana untuk ekspresi lateks terbesar yang pernah ada? Saya tidak mengerti kesimpulannya - pasti 25 game kurang dari biasanya dimainkan? Jika naik ke set kelima, Anda bermain setidaknya 30 pertandingan, dan bahkan kemenangan 6: 4 6: 4 6: 4 adalah 30 pertandingan?

— Corone

25

$25$

25 - 20

$25-20$

45

$45$

Ah ya, maaf, masuk akal. Jawaban yang bagus

— Corone

L A T E X

$\LaTeX$

Artikel ini memiliki beberapa analisis tie-breaker, dan apakah mereka mendukung server yang lebih kuat: heavytopspin.com/2012/10/30/the-struktural-biases-of-tiebreaks

— Douglas Zare