Rekonsiliasi notasi untuk model campuran

Saya kenal dengan notasi seperti:

mana, dan

\begin{aligned} y_{i j} & = β_{0} + β_{i} x_{i j} + u_{j} + e_{i j} \\ = β_{0 j} + β_{i} x_{i j} + e_{i j} \end{aligned}

$\begin{align} y_{ij} &= \beta_0 + \beta_i x_{ij} + u_j + e_{ij}\\ &= \beta_{0j} + \beta_i x_{ij} + e_{ij} \end{align}$

β_{0 j} = β_{0} + u_{j}

$\beta_{0j}=\beta_{0}+u_j$

manadan

\begin{aligned} y_{i j} & = β_{0} + β_{1} x_{i j} + u_{0 j} + u_{1 j} x_{i j} + e_{i j} \\ = β_{0 j} + β_{1 j} x_{i j} + e_{i j} \end{aligned}

$\begin{align} y_{ij} &= \beta_0 + \beta_1 x_{ij} + u_{0j} + u_{1j} x_{ij} + e_{ij} \\ &= \beta_{0j} + \beta_{1j} x_{ij} + e_{ij} \end{align}$

β_{0 j} = β_{0} + u_{0 j}

$\beta_{0j}=\beta_{0}+u_{0j}$

β_{1 j} = β_{1} + u_{1 j}

$\beta_{1j}=\beta_1+u_{1j}$

untuk model penyadapan acak dan kemiringan acak + model penyadapan acak, masing-masing.

Saya juga menemukan notasi matriks / vektor ini, yang menurut saya adalah "notasi model campuran untuk orang dewasa" (menurut kakak lelaki saya):

mana adalah efek tetap dan adalah efek acak.

y = X β + Z b + e

$\mathbf{y}=\mathbf{X\beta} + \mathbf{Z b} + \mathbf{e}$

β

$\mathbf{\beta}$

b

$\mathbf{b}$

Jika saya mengerti dengan benar, notasi yang terakhir adalah notasi yang lebih umum untuk yang pertama yang merupakan versi spesifik dari yang terakhir.

Saya ingin melihat bagaimana yang pertama dapat diperoleh dari yang kedua.

mixed-model mathematical-statistics

— Joe King
sumber

Apakah Anda bertanya tentang penjelasan notasi matriks? Alasan saya bertanya adalah bahwa pertanyaan ini tidak memerlukan derivasi matematis: semua rumus Anda mengatakan hal yang persis sama dan menghubungkannya satu sama lain hanyalah masalah memahami cara kerja notasi matriks.

— whuber

@whuber Saya mengerti notasi matriks dan aljabar matriks, sampai batas tertentu. Tetapi saya tidak tahu bagaimana memulainya dari bentuk matriks dan sampai pada bentuk lainnya. Mungkin saya tidak mengerti sesuatu tentang matriks X dan Z, tapi saya hanya berharap seseorang akan mengejanya.

— Joe King

@whuber adakah yang bisa saya lakukan untuk meningkatkan pertanyaan, atau apakah Anda mengatakan bahwa itu sangat mendasar sehingga tidak pantas dijawab?

— Joe King

@ JoKing: Saya pikir dia mengatakan bahwa notasi matriks secara definisi setara dengan notasi non-matriks Anda. Artinya, Anda sudah memiliki

(matriks ixj kali matriks jx1 menghasilkan matriks ix1

) yaitu

. (Anda dapat menggulung

ke dalam

dengan memasukkan 1 dalam

)

x_{i j} β_{i}

$x_{ij}\beta_i$

y_{i}

$y_i$

y = X β

$y=X\beta$

β_{0}

$\beta_0$

β

$\beta$

X

$X$

— Wayne

@Wayne kedua model memiliki efek acak dan efek tetap. Yang pertama memiliki intersep acak, sedangkan yang kedua memiliki intersep acak dan kemiringan acak. Jika saya bisa "mencari tahu" sendiri, saya tidak akan mengajukan pertanyaan di sini !!!!

— Joe King

Kami mempertimbangkan model campuran dengan lereng acak dan penyadapan acak. Mengingat bahwa kita hanya memiliki satu regresi, model ini dapat ditulis sebagai mana menunjukkan - Pengamatan kelompok dari respon, dan dan

y_{i j} = β_{0} + β_{1} x_{i j} + u_{0 j} + u_{1 j} x_{i j} + ϵ_{i j},

$y_{ij}= \beta_0 + \beta_1 x_{ij} + u_{0j}+u_{1j}x_{ij}+\epsilon_{ij},$

y_{i j}

$y_{ij}$

i

$i$

j

$j$

x_{i j}

$x_{ij}$

ϵ_{i j}

$\epsilon_{ij}$ istilah prediksi dan kesalahan masing-masing.

Model ini dapat dinyatakan dalam notasi matriks sebagai berikut:

yang setara dengan

Y = X β + Zb + ϵ,

$\mathbf{Y}=\mathbf{X}\beta + \textbf{Zb} + \epsilon,$

Y = [\begin{matrix} X & Z \end{matrix}] [\begin{matrix} β \\ b \end{matrix}] + ϵ

$\mathbf{Y}= \begin{bmatrix} \mathbf{X} & \textbf{Z} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \beta\\ \mathbf{b} \end{bmatrix}+ \epsilon$

Mari kita asumsikan bahwa kita memiliki kelompok , yaitu dan mari menunjukkan jumlah pengamatan dalam kelompok ke- . Dipartisi untuk setiap grup, kita dapat menulis rumus di atas sebagai $J$ $j=1,\dots,J$ $n_j$ $j$

[\begin{matrix} Y_{1} \\ Y_{2} \\ ⋮ \\ Y_{J} \end{matrix}] = [\begin{matrix} X_{1} & Z_{1} & 0 & 0 & 0 \\ X_{2} & 0 & Z_{2} & 0 & 0 \\ ⋮ & \dots \\ X_{J} & 0 & 0 & 0 & Z_{J} \end{matrix}] [\begin{matrix} β \\ b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{J} \end{matrix}] + [\begin{matrix} ϵ_{1} \\ ϵ_{2} \\ ⋮ \\ ϵ_{J} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} \mathbf{Y_1} \\ \mathbf{Y_2} \\ \vdots \\ \mathbf{Y_J} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \mathbf{X_1} & \mathbf{Z_1} & 0 & 0 & 0 \\ \mathbf{X_2} & 0 & \mathbf{Z_2} & 0 & 0 \\ \vdots & & & \dots & \\ \mathbf{X_J} & 0 & 0 & 0 & \mathbf{Z_J} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \beta \\ b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_J \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} \epsilon_1 \\ \epsilon_2 \\ \vdots \\ \epsilon_J \end{bmatrix}$

$\mathbf{Y_j}$ $n_j \times 1$ $j$ $\mathbf{X_j}$ $\mathbf{Z_j}$ $n_j \times 2$ $\epsilon_j$ $n_j \times 1$

Menuliskannya, kami memiliki:

$\mathbf{Y_j} = \begin{bmatrix} y_{1j}\\ y_{2j}\\ \vdots \\ y_{n_jj} \end{bmatrix}, \mathbf{X_j}=\mathbf{Z_j}=\begin{bmatrix} 1 & x_{1j} \\ 1 & x_{2j} \\ \vdots & \vdots \\ 1 & x_{n_jj} \end{bmatrix}$ $\epsilon_j = \begin{bmatrix} \epsilon_{1j}\\ \epsilon_{2j}\\ \vdots \\ \epsilon_{n_jj} \end{bmatrix}.$

Koefisien vektor regresi adalah

$\beta = \begin{pmatrix} \beta_0 \\ \beta_1 \end{pmatrix}$ $b_j=\begin{pmatrix} u_{0j}\\ u_{1j} \end{pmatrix}$

$j$

Y_{j} = X_{j} β + Z_{j} b_{j} + ϵ_{j}

$\mathbf{Y_j} = \mathbf{X_j} \beta + \mathbf{Z_j}b_j + \epsilon_j$

$i$

y_{i j} = β_{0} + β_{1} x_{i j} + u_{0 j} + u_{1 j} x_{i j} + ϵ_{i j},

$y_{ij}= \beta_0 + \beta_1 x_{ij} + u_{0j}+u_{1j}x_{ij}+\epsilon_{ij},$

i

$i$

1

$1$

n_{j}

$n_j$

— Philipp Burckhardt
sumber

Z_{j}

$Z_j$

Z

$Z$

Z_{j}

$Z_j$

Z

$Z$