Bisakah saya mengubah matriks kovarians menjadi ketidakpastian untuk variabel?

Saya memiliki unit GPS yang menampilkan pengukuran kebisingan melalui matriks kovarian : $\Sigma$

$\Sigma = \left[\begin{matrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{xz} & \sigma_{yz} & \sigma_{zz} \end{matrix}\right]$

(ada juga terlibat tapi mari kita mengabaikan bahwa untuk kedua.) $t$

Misalkan saya ingin memberi tahu orang lain bahwa keakuratan di setiap arah ( ) adalah beberapa angka. . Artinya, GPS saya dapat memberi saya bacaan , dll. Pemahaman saya adalah bahwa dalam hal ini menyiratkan bahwa semua pengukuran terpisah satu sama lain (yaitu, matriks kovarians adalah diagonal). Selain itu, menemukan kesalahan vektor semudah menambahkan kesalahan dalam quadrature (akar kuadrat dari jumlah kuadrat). $x,y,z$ $\mu_x, \mu_y, \mu_z$ $x=\bar{x}\pm\mu_x$ $\mu$

Apa yang terjadi jika matriks kovarians saya tidak diagonal? Apakah ada angka sederhana yang mencakup efek dari arah dan ? Bagaimana saya bisa menemukan itu dengan matriks kovarians? $\mu_x^*$ $y$ $z$

covariance measurement-error uncertainty

— Dang Khoa
sumber

Apa yang Anda maksud dengan menemukan kesalahan vektor dengan menambahkan kesalahan dalam quadrature? Setiap arah Anda adalah kesalahan pada kuantitas yang berbeda - menambahkan kesalahan dalam kuadratur adalah saat Anda menggabungkan beberapa sumber kesalahan pada satu kuantitas. Apa yang Anda bayangkan kesalahan vektor artinya?

— Corone

Catatan tambahan - dalam regresi berganda orang sering menyatakan kesalahan standar dari koefisien regresi tetapi sebenarnya estimasi untuk koefisien yang berbeda berkorelasi. Dimungkinkan untuk menghasilkan ellipsoid kepercayaan 95% yang mewakili ketidakpastian dalam berbagai dimensi - sangat analog dengan situasi yang Anda pertimbangkan.

— Silverfish

Tidak ada nomor tunggal yang mencakup semua informasi kovarian - ada 6 informasi, jadi Anda akan selalu membutuhkan 6 angka.

Namun ada beberapa hal yang bisa Anda pertimbangkan untuk dilakukan.

Pertama, kesalahan (varians) dalam arah tertentu , diberikan oleh $i$

$\sigma_i^2 = \mathbf{e}_i ^ \top \Sigma \mathbf{e}_i$

Di mana adalah vektor satuan dalam arah yang menarik. $\mathbf{e}_i$

Sekarang jika Anda melihat ini untuk tiga koordinat dasar Anda $(x,y,z)$

$\sigma_x^2 = \left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right]^\top \left[\begin{matrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{xz} & \sigma_{yz} & \sigma_{zz} \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right] = \sigma_{xx}$

$\sigma_y^2 = \sigma_{yy}$

$\sigma_z^2 = \sigma_{zz}$

So the error in each of the directions considered separately is given by the diagonal of the covariance matrix. This makes sense intuitively - if I am only considering one direction, then changing just the correlation should make no difference.

You are correct in noting that simply stating:

$x = \mu_x \pm \sigma_x$

$y = \mu_x \pm \sigma_y$

$z = \mu_z \pm \sigma_z$

Does not imply any correlation between those three statement - each statement on its own is perfectly correct, but taken together some information (correlation) has been dropped.

If you will be taking many measurements each with the same error correlation (supposing that this comes from the measurement equipment) then one elegant possibility is to rotate your coordinates so as to diagonalise your covariance matrix. Then you can present errors in each of those directions separately since they will now be uncorrelated.

As to taking the "vector error" by adding in quadrature I'm not sure I understand what you are saying. These three errors are errors in different quantities - they don't cancel each other out and so I don't see how you can add them together. Do you mean error in the distance?

— Corone
sumber

Yes, I mean error in the total distance, sorry for confusion.

— Dang Khoa

But the distance is not

d = x + y + z

$d = x + y + z$ (unless you actually do mean Taxi-Cab distance?), so the errors won't add in quadrature will they? If we assume normality then

d^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2}

$d^2 = x^2 + y^2 + z^2$ will have a non-central Chi-squared distribution on 3 degrees of freedom. I think the distribution of distance is going to start getting messy without some simplifying approximations.

— Corone

@Corone, when you say "Firstly, the error in any particular direction" Are you referring to the variance by saying the error?

— CroCo

@croco yes that's right since what we are starting with is covariance

— Corone