Apa yang dimaksud dengan "level" dari deret waktu?

Dalam banyak literatur yang saya pelajari itu adalah salah satu istilah yang sering terjadi namun tanpa definisi yang ketat dapat ditemukan. Secara khusus, saya diberitahu:

Untuk variabel acak terindeks waktu (RVs) , model dekomposisi aditif diberikan sebagai$\{X_t\}$

$$X_t = {ll}(X_{t-1}, X_{t-2}, \ldots) + {fc}(X_{t-1}, X_{t-2}, \ldots, \varepsilon_t, \varepsilon_{t-1}, \ldots)$$

dimana

• $ll$ adalah level jangka panjang , yang merupakan proses stokastik dan dapat divisualisasikan sebagai versi smoothed dari , tidak menjadi bingung dengan tren yang merupakan pola deterministik$\{X_t\}$
• $fc$ adalah komponen fluktuasi yang mewakili perubahan di tingkat lokal , diasumsikan stasioner dan dengan tingkat rata-rata nol
• $\{\varepsilon_t\}$ adalah inovasi , dan apakah RV RV rata-rata IID

Tapi apa perbedaan makna antara tren vs level jangka panjang vs level lokal vs level rata-rata ?

Selain itu, bukankah komponen perubahan dan inovasi memodelkan hal yang sama, yang merupakan kebisingan yang terkait dengan setiap pengamatan? Jadi mengapa menyulitkan dengan memasukkan keduanya?

Ini ada hubungannya dengan urutan integrasi . Proses stokastik$X_t$ dikatakan terintegrasi pesanan $0$, setara $X_t$~$I(0)$jika stasioner. Jika$X_t$~$I(d)$ dengan $d>0, d \in \mathbb{N}$, prosesnya dikatakan terintegrasi dari ketertiban $d$dan kemudian nonstationary. Dekomposisi di atas mencoba untuk menyaring komponen stasioner (sebagai komponen fluktuasi dan inovasi) dan komponen tren stokastik nonstasioner. Sebuah tren stokastik berbeda dari tren deterministik , dan penggunaan tren kata dalam bagian ini adalah ceroboh.

Sekarang, ini membuatnya terdengar lebih rumit dari itu. Mari kita pertimbangkan sebuah contoh. Mengambil$\varepsilon_t$~$(0,\sigma^2)$ sebagai proses white noise dan biarkan $\varepsilon_t$ menjadi $iid$. Tentukan polinomial lag berikut

$$\begin{align} C_1(L) &= 0.5L + 0.25L^2 -0.75L^3 -0.05 L^4 \\ \end{align}$$

Operator lag $L$ bekerja pada variabel acak yang diindeks waktu sebagai $L^k\varepsilon:=\varepsilon_{t-k}$. Anggaplah sekarang lebih jauh dari itu$X_t$ dihasilkan sebagai

$$\begin{align} X_t = X_{t-1} + C_1(L)\varepsilon_t + \varepsilon_t \end{align}$$

Kemudian, dengan menggunakan terminologi dari kutipan Anda, level jangka panjang akan ditentukan oleh $X_{t-1}$, komponen musiman / fluktuasi oleh $C_1(L)\varepsilon_t$ dan inovasi oleh $\varepsilon_t$. Seperti yang dijelaskan dalam kutipan, komponen fluktuasi dan inovasi tidak bergerak.

Alasan mengapa disebut demikian agak sulit untuk dilihat tanpa membuat pernyataan lebih lanjut dan berhubungan kembali dengan urutan integrasi yang disebutkan sebelumnya. Biasanya, kami tidak menemukan proses yang terintegrasi dengan pesanan lebih tinggi dari$1$ atau $2$, jadi mari kita perhatikan contoh tatanan integrasi di atas $1$.

Pertama, definisikan $u_t := C_1(L)\varepsilon_t + \varepsilon_t$. $u_t$ stasioner, jadi $u_t$~$I(0)$. Sekarang kita bisa menulis

$$\begin{align} X_t &= X_{t-1} + u_t \Longleftrightarrow\\ X_t - X_{t-1} &= (1-L)X_t = \Delta X_t = u_t \\ \end{align}$$ ini memberitahu kita itu $X_t$~$I(1)$, karena perbedaan pertama adalah keteraturan pesanan $0$. Arti dari ini mungkin sulit untuk dipahami, sampai orang menyadari apa$\Delta X_t = u_t$sebenarnya berarti. Ini berarti bahwa seseorang dapat menulis ulang $$\begin{align} X_t &= \sum_{i=1}^{\infty} \Delta X_t = \sum_{i=1}^{\infty} u_t\\ \end{align}$$ Ini mungkin tidak terlihat dramatis: $\mathbb{E}(X_t) = 0$, Lagipula! Namun, varian dari proses ini tidak terbatas dan meledak$\infty$. Inilah mengapa kami mengatakan istilah ini mendefinisikan tren stokastik: sementara itu tidak deterministik (seperti misalnya tren linier),$X_t$ hanya akan diam setelah kami memfilter komponen nonstasioner dan mengambilnya dari $X_{t}$. (Dalam hal ini, seperti yang diamati sebelumnya,$\Delta X_t = X_t - X_{t-1}=C_1(L)\varepsilon_t + \varepsilon_t$ akan memfilter komponen nonstasioner dan akan diam.) Jika Anda tidak melakukan ini, prosedur inferensi statistik yang biasa Anda tidak berfungsi lagi, karena $X_{t}$akan konvergen ke gerakan brown oleh prinsip invarian / Teorema Limit Sentral Fungsional. Hasil ini menggantikan hasil CLR standar untuk Autoregresi, masalah Kointegrasi, dan sebagainya.