Varian produk dari beberapa variabel acak

Kami tahu jawaban untuk dua variabel independen:

V a r (X Y) = E (X^{2} Y^{2}) - (E (X Y))^{2} = V a r (X) V a r (Y) + V a r (X) (E (Y))^{2} + V a r (Y) (E (X))^{2}

${\rm Var}(XY) = E(X^2Y^2) − (E(XY))^2={\rm Var}(X){\rm Var}(Y)+{\rm Var}(X)(E(Y))^2+{\rm Var}(Y)(E(X))^2$

Namun, jika kita mengambil produk lebih dari dua variabel, , apa jawabannya dalam hal varian dan nilai yang diharapkan dari masing-masing variabel? ${\rm Var}(X_1X_2 \cdots X_n)$

variance random-variable independence

— Damla
sumber

Karena adalah variabel acak dan (menganggap semua independen) itu independen terhadap , jawabannya diperoleh secara induktif: tidak ada hal baru yang diperlukan. Jangan sampai ini terlihat terlalu misterius, tekniknya tidak berbeda dengan menunjukkan bahwa karena Anda dapat menambahkan dua angka dengan kalkulator, Anda dapat menambahkan angka dengan kalkulator yang sama hanya dengan penambahan berulang.

X_{1} X_{2} \dots X_{n - 1}

$X_1X_2\cdots X_{n-1}$

X_{i}

$X_i$

X_{n}

$X_n$

n

$n$

— whuber

Bisakah Anda menuliskan bukti persamaan yang ditampilkan? Saya ingin tahu apa yang terjadi pada istilah yang akan memberi Anda beberapa istilah yang melibatkan .

(E [X Y])^{2}

$(E[XY])^2$

cov (X, Y)

$\operatorname{cov}(X,Y)$

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate, saya menduga pertanyaan ini diam-diam menganggap dan independen. Formula OP benar setiap kali tidak berkorelasi dan tidak berkorelasi. Lihat jawaban saya untuk pertanyaan terkait di sini .

X

$X$

Y

$Y$

X, Y

$X,Y$

X^{2}, Y^{2}

$X^2, Y^2$

— Makro

@ Macro Saya sangat menyadari poin yang Anda angkat. Apa yang saya coba untuk membuat OP memahami dan / atau mencari tahu sendiri adalah bahwa untuk variabel acak independen , seperti halnya disederhanakan menjadi disederhanakan menjadi yang Saya pikir ini adalah cara yang lebih langsung untuk mencapai hasil akhir daripada metode induktif yang ditunjukkan whuber.

E [X^{2} Y^{2}]

$E[X^2Y^2]$

E [X^{2} Y^{2}] = E [X^{2}] E [Y^{2}] = (σ_{X}^{2} + μ_{X}^{2}) (σ_{Y}^{2} + μ_{Y}^{2}),

$E[X^2Y^2]=E[X^2]E[Y^2]=(\sigma_X^2+\mu_X^2)(\sigma_Y^2+\mu_Y^2),$

E [(X_{1} \dots X_{n})^{2}]

$E[(X_1\cdots X_n)^2]$

E [(X_{1} \dots X_{n})^{2}] = E [X_{1}^{2}] \dots E [X_{n}^{2}] = \prod_{i = 1}^{n} (σ_{X_{i}}^{2} + μ_{X_{i}}^{2})

$E[(X_1\cdots X_n)^2]=E[X_1^2]\cdots E[X_n^2]=\prod_{i=1}^n(\sigma_{X_i}^2+\mu_{X_i}^2)$

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate, bagus. Saya sarankan Anda memposting itu sebagai jawaban agar saya dapat membatalkannya!

— Makro

Saya akan menganggap bahwa variabel acak yang independen , kondisi yang OP telah tidak termasuk dalam pernyataan masalah. Dengan asumsi ini, kita memiliki Jika istilah produk pertama di atas dikalikan, salah satu dari ketentuan dalam ekspansi membatalkan istilah produk kedua di atas. Dengan demikian, untuk kasus $X_1, X_2, \cdots , X_n$

\begin{aligned} var (X_{1} \dots X_{n}) & = E [(X_{1} \dots X_{n})^{2}] - {(E [X_{1} \dots X_{n}])}^{2} \\ = E [X_{1}^{2} \dots X_{n}^{2}] - {(E [(X_{1}] \dots E [X_{n}])}^{2} \\ = E [X_{1}^{2}] \dots E [X_{n}^{2}] - (E [X_{1}])^{2} \dots (E [X_{n}])^{2} \\ = \prod_{i = 1}^{n} (var (X_{i}) + (E [X_{i}])^{2}) - \prod_{i = 1}^{n} {(E [X_{i}])}^{2} \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{var}(X_1\cdots X_n) &= E[(X_1\cdots X_n)^2]-\left(E[X_1\cdots X_n]\right)^2\\ &= E[X_1^2\cdots X_n^2]-\left(E[(X_1]\cdots E[X_n]\right)^2\\ &= E[X_1^2]\cdots E[X_n^2] - (E[X_1])^2\cdots (E[X_n])^2\\ &= \prod_{i=1}^n \left(\operatorname{var}(X_i)+(E[X_i])^2\right) - \prod_{i=1}^n \left(E[X_i]\right)^2 \end{align}$

n = 2

$n=2$ , kami memiliki hasil yang dinyatakan oleh OP. Seperti yang ditunjukkan @Macro, untuk , kita tidak perlu berasumsi bahwa dan independen: kondisi yang lebih lemah bahwa dan tidak berkorelasi dan dan tidak berkorelasi juga cukup. Tetapi untuk , kurangnya korelasi tidak cukup. Kemandirian sudah mencukupi, tetapi tidak perlu. Yang diperlukan adalah anjak dari harapan produk yang ditunjukkan di atas ke dalam produk harapan, yang dijamin independensi.

n = 2

$n=2$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

X_{1}^{2}

$X_1^2$

X_{2}^{2}

$X_2^2$

n \geq 3

$n \geq 3$

— Dilip Sarwate
sumber

Terima kasih banyak! Saya sangat menghargai itu. Ya, pertanyaannya adalah untuk variabel acak independen.

— damla

Apakah mungkin untuk melakukan hal yang sama untuk variabel dependen? Saya mencoba mencari tahu apa yang akan terjadi pada varians jika ? Bisakah kita menurunkan rumus varian dalam hal varian dan nilai X yang diharapkan?

X_{1} = X_{2} = \dots = X_{n} = X

$X_1=X_2=\cdots=X_n=X$

— damla

Saya telah memposting pertanyaan di halaman baru. Terima kasih banyak! stats.stackexchange.com/questions/53380/…

— damla

Dilip, apakah ada generalisasi ke sejumlah variabel sembarang yang tidak independen? (Ini adalah pertanyaan yang berbeda dari yang ditanyakan oleh damla dalam pertanyaan baru mereka, yaitu tentang perbedaan kekuatan arbitrer dari satu variabel.)

n

$n$

— Alexis

@Alexis Sejauh pengetahuan saya, tidak ada generalisasi untuk variabel acak non-independen, bahkan, seperti yang sudah ditunjukkan, untuk kasus variabel acak.

3

$3$

— Dilip Sarwate