Varian dari kekuatan variabel acak

Apakah mungkin untuk mendapatkan formula untuk varian kekuatan variabel acak dalam hal nilai yang diharapkan dan varian X? dan

var (X^{n}) = ?

$\operatorname{var}(X^n)= \,?$

E (X^{n}) = ?

$E(X^n)=\,?$

variance expected-value

— Damla
sumber

Apakah Anda memiliki distribusi tertentu dalam pikiran? Untuk mendapatkan solusi, Anda perlu batasan semacam itu. Jika ada rumus umum yang ada, maka akan ada sangat sedikit distribusi: rumus itu akan menentukan semua momen yang lebih tinggi sehingga semua distribusi dapat menjadi parameter dengan ekspektasi dan varian, yang jelas bukan itu masalahnya.

— whuber

Saya tidak punya batasan. Versi independen dan lebih umum dari masalah ini diselesaikan dalam tautan ini: stats.stackexchange.com/questions/52646/... Jadi, saya ingin tahu apakah kita dapat memperoleh persamaan umum untuk yang ini juga. Dengan kata lain, saya berusaha mencari

v a r (X_{1} X_{2} \dots X_{n}) = ?

${\rm var}(X_1X_2 \cdots X_n)= \ ?$ dimana

X_{1} = X_{2} = \dots = X_{n} = X

$X_1=X_2=⋯=X_n=X$

— damla

Ya: perbedaannya adalah varians dan varians, sebagai jumlah kuadrat, tidak boleh negatif.

— whuber

Stéphane Laurent Saya tidak melihat di mana klaim seperti itu dibuat, tetapi hanya untuk memperjelas, saya tidak mempertahankan hal seperti itu.

— whuber

@Bastiaan

V a r (X^{n}) = E [X^{2 n}] - E [X^{n}]^{2}

$\mathrm{Var}(X^n) = \mathbb{E}[X^{2n}] - \mathbb{E}[X^n]^2$ ;

E [X^{n}]

$\mathbb{E}[X^n]$ untuk distribusi normal tersedia di sini .

— Dougal

jika Anda memiliki fungsi pembangkit Momen untuk distribusi X, Anda dapat menghitung nilai yang diharapkan dari $X^n$ menggunakan $\frac{d^n}{dt^n} MGF(x)$ dan mengevaluasinya di $t=0$ .

— Nick Lim
sumber

Bisakah Anda terus menjelaskan bagaimana ini dapat membantu menemukan

Var (X^{n})

$\operatorname{Var}(X^n)$ ?

— Silverfish

Komentar @Silverfish Dougal pada pertanyaan utama, diposting hanya tiga menit sebelum komentar Anda di atas, menjawab pertanyaan Anda sepenuhnya.

— Dilip Sarwate