Jumlah duplikat yang diharapkan (rangkap tiga dll) saat menggambar dengan penggantian

Saya memiliki masalah berikut:

Saya memiliki 100 item unik (n), dan saya memilih 43 (m) dari mereka satu per satu (dengan penggantian).

Saya perlu menyelesaikan untuk jumlah uniques yang diharapkan (hanya dipilih sekali, k = 1), ganda (dipilih tepat dua kali k = 2), tripples (tepat k = 3), paha depan dll ...

Saya sudah dapat menemukan banyak hasil pada kemungkinan ada setidaknya satu ganda (paradoks ulang tahun), tetapi tidak pada jumlah pasangan yang diharapkan dalam populasi.

probability expected-value birthday-paradox

— Kaitlyn K
sumber

Apakah perkiraan Monte Carlo berguna bagi Anda, atau apakah Anda memerlukan jawaban dalam bentuk tertutup?

— David J. Harris

Saya lebih suka rumus bentuk tertutup sehingga saya dapat dengan mudah menerapkannya pada nilai n, m dan k yang berbeda.

— Kaitlyn K

$i^{th}$ $\text{Binom}(m, \, 1/n)$

E [number of  pairs] = \sum_{i = 1}^{n} P [i^{t h} item appears twice]

$\mathbb{E}[\text{number of pairs}] = \sum_{i = 1}^n \mathbb{P}[i^{th} \text{ item appears twice}]$

n \cdot P [Binom (m, 1 / n) = 2] .

$n \cdot \mathbb{P}[\text{Binom}(m, \, 1/n) = 2].$

Anda bisa mendapatkan nilai numerik dalam R dengan perintah n * dbinom (k, m, 1 / n).

— Stefan Taruhan
sumber

Bisakah rumus itu digunakan untuk ak = 0 atau 1?

— Kaitlyn K

Ya bisa. Dengan k = 0, Anda dapat menafsirkannya sebagai `berapa banyak poin tidak akan muncul di antara yang dipilih '.

— Stefan Taruhan

Tetapi peristiwa ini tidak independen. Misal ketika item 1 muncul m kali, maka tidak ada item lain yang bisa muncul. Anda tidak bisa begitu saja menambahkan nilai P.

— asterix314