Apa arti dari superskrip dalam dan ?

Dalam konteks inferensi berbasis kemungkinan, saya telah melihat beberapa notasi mengenai parameter yang menarik yang saya temukan sedikit membingungkan.

Misalnya, notasi seperti dan . $p_{\theta}(x)$ ${\mathbb E}_{\theta}\left[S(\theta)\right]$

Apa signifikansi parameter ( ) dalam notasi subskrip di atas? Dengan kata lain, bagaimana seharusnya dibaca? $\theta$

Asumsi pertama saya adalah bahwa itu berarti "dengan parameter "; misalnya, untuk , itu akan berbunyi: $\theta$ $p_{\theta}(x)$

"Densitas probabilitas dengan parameter ." $x$ $\theta$

Namun, ini mungkin tidak benar karena dan, secara umum, adalah tidak distribusi (yakni tidak mengintegrasikan kesatuan); maka itu tidak bisa menjadi kepadatan, bukan? $p_{\theta}(x) = L(\theta)$ $L(\theta)$

Selain itu, dalam kasus , saya tidak yakin perubahannya relatif terhadap (yaitu dengan subskrip dihilangkan). ${\mathbb E}_{\theta}\left[S(\theta)\right]$ ${\mathbb E}\left[(S(\theta)\right]$ $\theta$

Dalam atas dan masing-masing menandakan fungsi skor dan fungsi kemungkinan. $S(\theta)$ $L(\theta)$

— Hugo
sumber

p_{θ}

$p_\theta$ adalah probabilitas (atau kepadatan) untuk setiap , yang tidak menyiratkan bahwa kemungkinannya adalah fungsi kepadatan sebagai fungsi dari .

θ

$\theta$

θ

$\theta$

— Stéphane Laurent

Terima kasih untuk balasan Anda! Jadi ? Dari sini, dapatkah saya berasumsi bahwa: Dan juga mengacu pada ekspektasi untuk setiap sehingga:

p_{θ} (x) is equivalent to p (x; θ)

$p_{\theta}(x) \text{ is equivalent to } p(x;\theta)$

p_{θ} (x) = L (θ) but \int p_{θ} (x) d x = 1 \neq \int L (θ) d θ

$p_{\theta}(x) = L(\theta) \text{ but } \int p_{\theta}(x) dx = 1 \neq \int L(\theta) d\theta$

E_{θ} (f (x))

${\mathbb E}_{\theta}(f(x))$

x

$x$

θ

$\theta$

E_{θ} (f (x)) = \int f (x) p_{θ} (x) d x

${\mathbb E}_{\theta}(f(x)) = \int f(x)p_{\theta}(x)dx$

— Hugo

Biasanya notasi mewakili ekspektasi terhadap variabel acak ; jika Anda berada dalam situasi di mana masuk akal untuk menganggap sebagai variabel acak (seperti konteks Bayesian), itu akan menjadi tujuannya. Jika Anda tidak berada dalam situasi di mana dapat dianggap sebagai variabel acak, komentar @ Hugo akan berarti saya akan melihat berikutnya.

E_{X} ()

$\text{E}_X()$

X

$X$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

— Glen_b -Reinstate Monica

@ Hugo Ya Anda mengerti. Ketat kita harus selalu menunjukkan harapan di mana adalah probabilitas yang mendasari tetapi ini tidak berguna ketika hanya ada satu . Di sini adalah jalan pintas untuk . Notasi disebutkan oleh Geln_b sesuai untuk konteks lain tetapi biasanya saya tidak suka notasi ini.

E_{P}

$\mathbb{E}_{P}$

P

$P$

P

$P$

E_{θ}

$\mathbb{E}_\theta$

E_{p_{θ}}

$\mathbb{E}_{p_{\theta}}$

E_{X}

$\mathbb{E}_X$

— Stéphane Laurent

Ini sebagian besar dijawab dalam komentar yang akan saya rangkum di sini.

$p_\theta(x)$ berarti sama dengan , yang merupakan singkatan. Ini adalah kepadatan sehubungan dengan , bukan sehubungan dengan . Jadi sementara oleh kebutuhan tidak mengikuti , bisa berupa apa saja, termasuk . $p(x; \theta)$ $x$ $\theta$ $\int p(x;\theta)\; dx = 1$ $\int p(x;\theta)\; d\theta=1$ $\infty$

Jadi, adalah ekspektasi dari sehubungan dengan distribusi . Subskrip ada untuk kejelasan, bukan karena itu perlu, jadi memiliki arti yang sama. Distribusi sehubungan dengan yang kita hitung ekspektasinya harus jelas dari konteks, atau ditunjukkan entah bagaimana (seperti oleh subskrip). ${\mathbb E}_{\theta}\left[S(\theta)\right]$ $S(\theta)$ $p_\theta(x)$ $\theta$ ${\mathbb E}\left[(S(\theta)\right]$

— kjetil b halvorsen
sumber