Distribusi apa yang diikuti oleh data saya?

Katakanlah saya memiliki 1000 komponen dan saya telah mengumpulkan data tentang berapa kali kegagalan ini dicatat dan setiap kali mereka mencatat kegagalan, saya juga melacak berapa lama waktu yang dibutuhkan tim saya untuk memperbaiki masalah. Singkatnya, saya telah merekam waktu untuk memperbaiki (dalam detik) untuk masing-masing dari 1000 komponen ini. Data diberikan di akhir pertanyaan ini.

Saya mengambil semua nilai ini dan menggambar grafik Cullen dan Frey di R menggunakan descdistdari fitdistrpluspaket. Harapan saya adalah untuk memahami jika waktu perbaikan mengikuti distribusi tertentu. Berikut plot dengan boot=500untuk mendapatkan nilai-nilai bootstrap:

Saya melihat bahwa plot ini memberi tahu saya bahwa pengamatan termasuk dalam distribusi beta (atau mungkin tidak, dalam hal ini, apa yang diungkapkan?) Sekarang, mengingat bahwa saya seorang arsitek sistem dan bukan ahli statistik, plot apa yang diungkapkan ini ? (Saya mencari intuisi dunia nyata praktis di balik hasil ini).

EDIT:

QQplot menggunakan qqPlotfungsi dalam paket car. Saya pertama-tama memperkirakan parameter bentuk dan skala menggunakan fitdistrfungsi.

> fitdistr(Data$Duration, "weibull")
      shape          scale    
  3.783365e-01   5.273310e+03 
 (6.657644e-03) (3.396456e+02)

Lalu, saya melakukan ini:

qqPlot(LB$Duration, distribution="weibull", shape=3.783365e-01, scale=5.273310e+03)

EDIT 2:

Memperbarui dengan QQplot lognormal.

Inilah data saya:

c(1528L, 285L, 87138L, 302L, 115L, 416L, 8940L, 19438L, 165820L, 
540L, 1653L, 1527L, 974L, 12999L, 226L, 190L, 306L, 189L, 138542L, 
3049L, 129067L, 21806L, 456L, 22745L, 198L, 44568L, 29355L, 17163L, 
294L, 4218L, 3672L, 10100L, 290L, 8341L, 128L, 11263L, 1495243L, 
1699L, 247L, 249L, 300L, 351L, 608L, 186684L, 524026L, 1392L, 
396L, 298L, 1063L, 11102L, 6684L, 6546L, 289L, 465L, 261L, 175L, 
356L, 61652L, 236L, 74795L, 64982L, 294L, 95221L, 322L, 38892L, 
2146L, 59347L, 2118L, 310801L, 277964L, 205679L, 5980L, 66102L, 
36495L, 580277L, 27600L, 509L, 21795L, 21795L, 301L, 617L, 331L, 
250L, 123501L, 144L, 347L, 121443L, 211L, 232L, 445783L, 9715L, 
10308L, 1921L, 178L, 168L, 291L, 6915L, 6735L, 1008478L, 274L, 
20L, 3287L, 591208L, 797L, 586L, 170613L, 938L, 3121L, 249L, 
1497L, 24L, 1407L, 1217L, 1323L, 272L, 443L, 49466L, 323L, 323L, 
784L, 900L, 26814L, 2452L, 214713L, 3668L, 325L, 20439L, 12304L, 
261L, 137L, 379L, 2273L, 274L, 17760L, 920699L, 13L, 485644L, 
1243L, 226L, 20388L, 584L, 17695L, 1477L, 242L, 280L, 253L, 17964L, 
7073L, 308L, 260692L, 155L, 58136L, 16644L, 29353L, 543L, 276L, 
2328L, 254L, 1392L, 272L, 480L, 219L, 60L, 2285L, 2676L, 256L, 
234L, 1240L, 219714L, 102174L, 258L, 266L, 33043L, 530L, 6334L, 
94047L, 293L, 536L, 48557L, 4141L, 39079L, 23259L, 2235L, 17673L, 
28268L, 112L, 64824L, 127992L, 5291L, 51693L, 762L, 1070735L, 
179L, 189L, 157L, 157L, 122L, 1045L, 1317L, 186L, 57901L, 456126L, 
674L, 2375L, 1782L, 257L, 23L, 248L, 216L, 114L, 11662L, 107890L, 
203022L, 513L, 2549L, 146L, 53331L, 1690L, 10752L, 1648611L, 
148L, 611L, 198L, 443L, 10061L, 720L, 10L, 24L, 220L, 38L, 453L, 
10066L, 115774L, 97713L, 7234L, 773L, 90154L, 151L, 1560L, 222L, 
51558L, 214L, 948L, 208L, 1127L, 221L, 169L, 1528L, 78959L, 61566L, 
88049L, 780L, 6196L, 633L, 214L, 2547L, 19088L, 119L, 561L, 112L, 
17557L, 101086L, 244L, 257L, 94483L, 6189L, 236L, 248L, 966L, 
117L, 333L, 278L, 553L, 568L, 356L, 731L, 25258L, 127931L, 7735L, 
112717L, 395L, 12960L, 11383L, 16L, 229067L, 259076L, 311L, 366L, 
2696L, 7265L, 259076L, 3551L, 7782L, 4256L, 87121L, 4971L, 4706L, 
245L, 34457L, 4971L, 4706L, 245L, 34457L, 258L, 36071L, 301L, 
2214L, 2231L, 247L, 537L, 301L, 2214L, 230L, 1076L, 1881L, 266L, 
4371L, 88304L, 50056L, 50056L, 232L, 186336L, 48200L, 112L, 48200L, 
48200L, 6236L, 82158L, 6236L, 82158L, 1331L, 713L, 89106L, 46315L, 
220L, 5634L, 170601L, 588L, 1063L, 2282L, 247L, 804L, 125L, 5507L, 
1271L, 2567L, 441L, 6623L, 64781L, 1545L, 240L, 2921L, 777L, 
697L, 2018L, 24064L, 199L, 183L, 297L, 9010L, 16304L, 930L, 6522L, 
5717L, 17L, 20L, 364418L, 58246L, 7976L, 304L, 4814L, 307L, 487L, 
292016L, 6972L, 15L, 40922L, 471L, 2342L, 2248L, 23L, 2434L, 
23342L, 807L, 21L, 345568L, 324L, 188L, 184L, 191L, 188L, 198L, 
195L, 187L, 185L, 33968L, 1375L, 121L, 56872L, 35970L, 929L, 
151L, 5526L, 156L, 2687L, 4870L, 26939L, 180L, 14623L, 265L, 
261L, 30501L, 5435L, 9849L, 5496L, 1753L, 847L, 265L, 280L, 1840L, 
1107L, 2174L, 18907L, 14762L, 3450L, 9648L, 1080L, 45L, 6453L, 
136351L, 521L, 715L, 668L, 14550L, 1381L, 13294L, 13100L, 6354L, 
6319L, 84837L, 84726L, 84702L, 2126L, 36L, 572L, 1448L, 215L, 
12L, 7105L, 758L, 4694L, 29369L, 7579L, 709L, 121L, 781L, 1391L, 
2166L, 160403L, 674L, 1933L, 320L, 1628L, 2346L, 2955L, 204852L, 
206277L, 2408L, 2162L, 312L, 280L, 243L, 84050L, 830L, 290L, 
10490L, 119392L, 182960L, 261791L, 92L, 415L, 144L, 2006L, 1172L, 
1886L, 233L, 36123L, 7855L, 554L, 234L, 2292L, 21L, 132L, 142L, 
3848L, 3847L, 3965L, 3431L, 2465L, 1717L, 3952L, 854L, 854L, 
834L, 14608L, 172L, 7885L, 75303L, 535L, 443347L, 5478L, 782L, 
9066L, 6733L, 568L, 611L, 533L, 1022L, 334L, 21628L, 295362L, 
34L, 486L, 279L, 2530L, 504L, 525L, 367L, 293L, 258L, 1854L, 
209L, 152L, 1139L, 398L, 3275L, 284178L, 284127L, 826L, 751L, 
1814L, 398L, 1517L, 255L, 13745L, 43L, 1463L, 385L, 64L, 5279L, 
885L, 1193L, 190L, 451L, 1093L, 322L, 453L, 680L, 452L, 677L, 
295L, 120L, 12184L, 250L, 1165L, 476L, 211L, 4437L, 7310L, 778L, 
260L, 855L, 353L, 97L, 34L, 87L, 137L, 101L, 416L, 130L, 148L, 
832L, 187L, 291L, 4050L, 14569L, 271L, 1968L, 6553L, 2535L, 227L, 
202L, 647L, 266L, 2681L, 106L, 158L, 257L, 234L, 1726L, 34L, 
465L, 436L, 245L, 245L, 2790L, 104L, 1283L, 44416L, 142L, 13617L, 
232L, 171L, 221L, 719L, 176L, 5838L, 37488L, 12214L, 3780L, 5556L, 
5368L, 106L, 246L, 101L, 158L, 10743L, 5L, 46478L, 5286L, 9866L, 
32593L, 174L, 298L, 19617L, 19350L, 230L, 78449L, 78414L, 78413L, 
78413L, 6260L, 6260L, 209L, 2552L, 522L, 178L, 140L, 173046L, 
299L, 265L, 132360L, 132252L, 4821L, 4755L, 197L, 567L, 113L, 
30314L, 7006L, 10L, 30L, 55281L, 8263L, 8244L, 8142L, 568L, 1592L, 
1750L, 628L, 60304L, 212553L, 51393L, 222L, 13471L, 3423L, 306L, 
325L, 2650L, 74796L, 37807L, 103751L, 6924L, 6727L, 667L, 657L, 
752L, 546L, 1860L, 230L, 217L, 1422L, 347L, 341055L, 4510L, 4398L, 
179670L, 796L, 1210L, 2579L, 250L, 273L, 407L, 192049L, 236L, 
96084L, 5808L, 7546L, 10646L, 197L, 188L, 19L, 167877L, 200509L, 
429L, 632L, 495L, 471L, 2578L, 251L, 198L, 175L, 19161L, 289L, 
20718L, 201L, 937L, 283L, 4829L, 4776L, 5949L, 856907L, 2747L, 
2761L, 3150L, 3142L, 68031L, 187666L, 255211L, 255231L, 6581L, 
392991L, 858L, 115L, 141L, 85629L, 125433L, 6850L, 6684L, 23L, 
529L, 562L, 216L, 1450L, 838L, 3335L, 1446L, 178L, 130101L, 239L, 
1838L, 286L, 289L, 68974L, 757L, 764L, 218L, 207L, 3485L, 16597L, 
236L, 1387L, 2121L, 2122L, 957L, 199899L, 409803L, 367877L, 1650L, 
116710L, 5662L, 12497L, 613889L, 10182L, 260L, 9654L, 422947L, 
294L, 284L, 996L, 1444L, 2373L, 308L, 1522L, 288L, 937L, 291L, 
93L, 17629L, 5151L, 184L, 161L, 3273L, 1090L, 179840L, 1294L, 
922L, 826L, 725L, 252L, 715L, 6116L, 259L, 6171L, 198L, 5610L, 
5679L, 862L, 332L, 1324L, 536L, 98737L, 316L, 5608L, 5526L, 404L, 
255L, 251L, 14067L, 3360L, 3623L, 8920L, 288L, 447L, 453L, 1604687L, 
115L, 127L, 127L, 2398L, 2396L, 2396L, 2398L, 2396L, 2397L, 154L, 
154L, 154L, 154L, 887L, 636L, 227L, 227L, 354L, 7150L, 30227L, 
546013L, 545979L, 251L, 171647L, 252L, 583L, 593L, 10222L, 2660L, 
1864L, 2884L, 1577L, 1304L, 337L, 2642L, 2462L, 280L, 284L, 3463L, 
288L, 288L, 540L, 287L, 526L, 721L, 1015L, 74071L, 6338L, 1590L, 
582L, 765L, 291L, 983L, 158L, 625L, 581L, 350L, 6896L, 13567L, 
20261L, 4781L, 1025L, 722L, 721L, 1618L, 1799L, 987L, 6373L, 
733L, 5648L, 987L, 1010L, 985L, 920L, 920L, 4696L, 1154L, 1132L, 
927L, 4546L, 692L, 702L, 301L, 305L, 316L, 313L, 801L, 788L, 
14624L, 14624L, 9778L, 9778L, 9778L, 9778L, 757L, 275L, 1480L, 
610L, 68495L, 1152L, 1155L, 323L, 312L, 303L, 298L, 1641L, 1607L, 
1645L, 616L, 1002L, 1034L, 1022L, 1030L, 1030L, 1027L, 1027L, 
934L, 960L, 47L, 44L, 1935L, 1925L, 43L, 47L, 1933L, 1898L, 938L, 
830L, 286L, 287L, 807L, 807L, 741L, 628L, 482L, 500L, 480L, 431L, 
287L, 298L, 227L, 968L, 961L, 943L, 932L, 704L, 420L, 548L, 3612L, 
1723L, 780L, 337L, 780L, 527L, 528L, 499L, 679L, 308L, 1104L, 
314L, 1607L, 990L, 1156L, 562L, 299L, 16L, 20L, 287L, 581L, 1710L, 
1859L, 988L, 962L, 834L, 1138L, 363L, 294L, 2678L, 362L, 539L, 
295L, 996L, 977L, 988L, 39L, 762L, 579L, 595L, 405L, 1001L, 1002L, 
555L, 1102L, 54L, 1283L, 347L, 1384L, 603L, 307L, 306L, 302L, 
302L, 288L, 288L, 286L, 292L, 529L, 56844L, 1986L, 503L, 751L, 
3977L, 367L, 4817L, 4631L, 4609L, 4579L, 937L, 402L, 257L, 570L, 
1156L, 3297L, 3948L, 4527L, 3119L, 15227L, 3893L, 538L, 802L, 
5128L, 595L, 522L, 1346L, 449L, 443L, 323L, 372L, 369L, 307L, 
246L, 260L, 342L, 283L, 963L, 751L, 108L, 280L, 320L, 287L, 285L, 
283L, 529L, 536L, 298L, 29427L, 29413L, 761L, 249L, 255L, 304L, 
297L, 256L, 119L, 288L, 564L, 234L, 226L, 530L, 766L, 223L, 5858L, 
5568L, 481L, 462L, 8692L, 498L, 330L, 7604L, 15L, 121738L, 121833L, 
826L, 760L, 208937L, 1598L, 1166L, 446L, 85598L, 513L, 84897L, 
50239L, 308L, 1351L, 283L, 7100L, 7101L, 321L, 1019L, 287L, 253L, 
634L, 629L, 628L, 678L, 1391L, 1147L, 853L, 287L, 1174L, 287L, 
197145L, 197116L, 147L, 147L, 712L, 274L, 283L, 907L, 434L, 1164L, 
30L, 599L, 577L, 315L, 1423L, 1250L, 30L, 1502L, 296L, 348L, 
617L, 339L, 328L, 123L, 338L, 332L, 47133L, 288L, 340L, 1524L, 
1049L, 1072L, 1031L, 1059L, 1038L, 989L, 52L, 54L, 986L, 46L, 
1202L, 1272L, 43L, 785L, 761L, 16924L, 289L, 264L, 453L, 365L, 
356L, 280L, 16520L, 281L, 255L, 244L, 642L, 1003L, 951L, 921L, 
1011L, 45L, 932L, 973L, 39L, 40L, 159L, 566L, 49L, 1161L, 50L, 
200L, 215L, 361L, 377L, 980L, 935L, 882L, 281L, 280L, 1025L, 
319L, 690L, 284L, 271L, 276L, 286L, 371L, 324L, 304L, 311L, 341L, 
603L, 11566L, 270L, 286L, 342L, 326L, 11018L, 282L, 271L, 286L, 
586L, 604L, 750L, 608L, 523L, 506L, 3303L, 1079797L, 1079811L, 
530L, 2631L, 882L, 628L, 30L, 11905L, 12966L, 390995L, 322353L, 
1763L, 1755L, 709L, 713L, 365L, 351L, 205L, 393L, 284L, 39417L, 
320L, 322L, 8039L, 995L, 625L, 785L, 298L, 518L, 467L, 1050L, 
329L, 141345L, 55566L, 40318L, 287L, 220L, 309346L, 220L, 215314L, 
304L, 296L, 4301L, 4311L, 1543L, 1549L, 2876L, 2894L, 287L, 290L, 
215L, 605L, 577L, 254L, 1330L, 1863L, 140L, 328L, 284L, 291L, 
283L, 1701L, 1696L, 519L, 499L, 2440007L, 289L, 294L, 311L, 324L, 
4793L, 4808L, 249L, 205L, 219L, 638L, 2653L, 2648L, 351L, 323L, 
1056L, 327L, 794L, 1491L, 284L, 289L, 220L, 765L, 565L, 808L, 
832L, 772L, 41668L, 42307L, 6843L, 6612L, 6598L, 241164L, 531L, 
554L, 1246L, 459L, 971504L, 805L, 2615L, 2290L, 2086L, 2063L, 
2685L, 2704L, 275L, 461L, 458L, 317L, 889L, 335L, 974L, 959L, 
253142L, 257L, 250L, 282L, 293L, 666L, 4991L, 287L, 588L, 555L, 
3585L, 3195L, 481L, 2405L, 135266L, 571L, 1805L, 365L, 340L, 
232L, 224L, 298L, 3682L, 3677L, 577L, 571L, 288L, 297L, 293L, 
291L, 256L, 214L, 1257L, 1271L, 65471L, 65471L, 65476L, 65476L, 
4680L, 4675L, 339L, 329L, 284L, 288L, 4859L, 4851L, 2534L, 24222L, 
330684L, 330684L, 2116L, 282L, 412L, 429L, 2324L, 1978L, 502L, 
286L, 943149L, 256L, 288L, 286L, 1098L, 1125L, 442L, 240L, 182L, 
2617L, 1068L, 25204L, 170L, 418L, 1867L, 8989L, 1804L, 1240L, 
6610L, 1237L, 1750L, 1565L, 1565L, 3662L, 1803L, 218L, 172L, 
780L, 1418L, 2390L, 7514L, 23214L, 1464L, 1060L, 1503L, 308802L, 
308357L, 21691L, 298817L, 289875L, 4442L, 289284L, 235L, 456L, 
676L, 897L, 289109L, 1865L, 288030L, 287899L, 287767L, 287635L, 
286639L, 286509L, 286157L, 1427L, 2958L, 4340L, 5646L, 282469L, 
7016L, 279353L, 278568L, 316L, 558L, 3501L, 1630L, 278443L, 1360L, 
828L, 1089L, 278430L, 278299L, 278169L, 278035L, 277671L, 277541L, 
277400L, 277277L, 276567L, 285L, 555L, 834L, 1084L, 1355L, 5249L, 
14776L, 1441L, 755L, 755L, 70418L, 3135L, 1026L, 1497L, 949663L, 
68L, 526058L, 1692L, 150L, 48370L, 4207L, 4088L, 197551L, 197109L, 
196891L, 196634L, 2960L, 194319L, 194037L, 3008L, 3927L, 178762L, 
178567L, 403L, 178124L, 2590L, 177405L, 177179L, 301L, 328L, 
390685L, 390683L, 575L, 1049L, 819L, 367L, 289L, 277L, 390L, 
301L, 318L, 3806L, 3778L, 3699L, 3691L)

Masalahnya adalah bahwa data nyata tidak selalu mengikuti distribusi tertentu yang dapat Anda sebutkan ... dan memang akan mengejutkan jika itu terjadi.

Jadi, sementara saya bisa menyebutkan selusin kemungkinan, proses yang sebenarnya menghasilkan pengamatan ini mungkin tidak akan menjadi apa pun yang bisa saya sarankan juga. Dengan meningkatnya ukuran sampel, Anda mungkin akan dapat menolak distribusi yang terkenal.

Distribusi parametrik seringkali merupakan fiksi yang berguna, bukan deskripsi yang sempurna.

Mari kita setidaknya melihat log-data, pertama dalam qqplot normal dan kemudian sebagai estimasi kepadatan kernel untuk melihat tampilannya:

Perhatikan bahwa dalam plot QQ yang dilakukan dengan cara ini, bagian kemiringan yang paling rata adalah tempat Anda cenderung melihat puncak. Ini memiliki saran yang jelas tentang puncak di dekat 6 dan yang lainnya sekitar 12,3. Estimasi kepadatan kernel dari log menunjukkan hal yang sama:

Dalam kedua kasus tersebut, indikasinya adalah bahwa distribusi waktu log condong ke kanan, tetapi tidak jelas unimodal. Jelas puncak utamanya adalah sekitar 5 menit. Mungkin ada puncak kecil kedua dalam kepadatan waktu log, yang tampaknya berada di suatu tempat di wilayah mungkin 60 jam. Mungkin ada dua "jenis" perbaikan yang sangat berbeda secara kualitatif, dan distribusi Anda mencerminkan campuran dari dua jenis. Atau mungkin sekali suatu perbaikan mencapai satu hari penuh kerja, ia cenderung hanya membutuhkan waktu yang lebih lama (yaitu, daripada mencerminkan suatu puncak pada lebih dari satu minggu, itu mungkin mencerminkan suatu anti-puncak pada lebih dari satu hari - satu kali Anda mendapatkan waktu yang lebih lama daripada hanya dalam sehari untuk memperbaiki, pekerjaan cenderung 'melambat').

Bahkan log dari log waktu agak condong ke kanan. Mari kita lihat transformasi yang lebih kuat, di mana puncak kedua cukup jelas - minus kebalikan dari akar waktu keempat:

Garis yang ditandai berada pada 5 menit (biru) dan 60 jam (putus-putus hijau); seperti yang Anda lihat, ada puncak tepat di bawah 5 menit dan di tempat lain di atas 60 jam. Perhatikan bahwa "puncak" atas berada di sekitar persentil ke-95 dan tidak akan selalu mendekati puncak dalam distribusi yang tidak diubah.

Ada juga saran dari penurunan lain sekitar 7,5 menit dengan puncak yang luas antara 10 dan 20 menit, yang mungkin menyarankan kecenderungan yang sangat kecil untuk 'mengumpulkan' di wilayah itu (bukan berarti ada sesuatu yang tidak diinginkan terjadi, bahkan jika tidak ada penurunan / memuncak pada waktu kerja yang melekat di sana, bahkan bisa menjadi sesuatu yang sederhana seperti fungsi kemampuan manusia untuk fokus dalam satu periode yang tidak terputus selama lebih dari beberapa menit.)

Bagiku itu seperti dua komponen (dua puncak) atau mungkin tiga komponen campuran distribusi miring kanan akan menggambarkan proses dengan cukup baik tetapi tidak akan menjadi deskripsi yang sempurna.

Paket ini logsplinetampaknya memilih empat puncak dalam log (waktu):

dengan puncak di dekat 30, 270, 900 dan 270K detik (30-an, 4,5m, 15m, dan 75 jam).

Menggunakan logspline dengan transformasi lain umumnya menemukan 4 puncak tetapi dengan pusat yang sedikit berbeda (ketika diterjemahkan ke unit asli); ini diharapkan dengan transformasi.

Fungsi descdist memiliki opsi untuk mem-bootstrap distribusi Anda untuk mendapatkan kepekaan yang terkait dengan perkiraan yang diplot. Anda mungkin mencobanya.

descdist(time_to_repair, boot=1000)

Dugaan saya adalah bahwa data Anda konsisten dengan lebih dari sekadar distribusi beta.

Secara umum, distribusi beta adalah distribusi proporsi atau probabilitas berkelanjutan. Misalnya, distribusi nilai-p dari uji-t akan menjadi beberapa kasus spesifik dari distribusi beta tergantung pada apakah hipotesis nol itu benar dan jumlah daya yang dimiliki analisis Anda.

Saya merasa sangat tidak mungkin bahwa distribusi waktu Anda untuk memperbaiki akan benar-benar beta. Perhatikan bahwa grafik itu hanya membandingkan kemiringan dan kurtosis data Anda dengan distribusi yang ditentukan. Beta terikat oleh 0 dan 1; Saya berani bertaruh data Anda tidak, tetapi grafik itu tidak memeriksa fakta itu.

Di sisi lain, distribusi Weibull adalah umum untuk jeda waktu. Dari melihat sosok itu (tanpa contoh bot yang direncanakan untuk mengukur ketidakpastian), saya menduga data Anda konsisten dengan Weibull.

Anda juga dapat memeriksa apakah data Anda adalah Weibull, saya percaya, menggunakan qqPlot dari paket mobil untuk membuat qq-plot .

Untuk apa itu layak, menggunakan rutin FindDistribution Mathematica, logaritma sangat kira-kira campuran dari dua distribusi normal,

$x=\ln(\text{data})$

$$f(x)=0.0585522 e^{-0.33781 (x-11.7025)^2}+0.229776 e^{-0.245814 (x-6.66864)^2}$$

Menggunakan 3 distribusi untuk membuat distribusi campuran

$$f(x)=0.560456\text{ Laplace}(5.85532,0.59296)+0.312384\text{ LogNormal}(2.08338,0.122309)+0.12716\text{ Normal}(11.6327,1.02011) \,,$$ $$\begin{array}{cc} \Bigg\{ & \begin{array}{ll} 0.472592 e^{-1.68646 (5.85532\, -x)}\, +0.0497292 e^{-0.480476 (x-11.6327)^2} & x\leq 0 \\ 0.472592 e^{-1.68646 (5.85532\, -x)}+0.0497292 e^{-0.480476 (x-11.6327)^2}+\frac{1.01893 }{x}e^{-33.4238 (\ln (x)-2.08338)^2} & 0<x<5.85532 \\ 0.472592 e^{-1.68646 (x-5.85532)}+0.0497292 e^{-0.480476 (x-11.6327)^2}+\frac{1.01893 }{x}e^{-33.4238 (\ln (x)-2.08338)^2} & \text{Otherwise} \\ \end{array} \\ \end{array}$$

$^\text{th}$