Mengapa probabilitas nol untuk nilai tertentu dari distribusi normal?

Saya perhatikan bahwa dalam distribusi Normal, probabilitas sama dengan nol, sedangkan untuk distribusi Poisson, itu tidak akan sama dengan nol ketika adalah bilangan bulat non-negatif. $P(x=c)$ $c$

Pertanyaan saya adalah: Apakah probabilitas konstanta dalam distribusi normal sama dengan nol karena mewakili area di bawah kurva apa pun? Atau itu hanya aturan menghafal saja?

probability normal-distribution poisson-distribution

— Psiko 4 Fisika
sumber

distribusi kontinu vs diskrit

— Glen_b -Reinstate Monica

Sangat terkait erat (pertanyaan yang sedikit berbeda, pada dasarnya jawaban yang sama): stats.stackexchange.com/questions/4220 .

— whuber

Tidak ada yang layak diketahui hanya "aturan untuk menghafal".

— Matthew Drury

Mungkin eksperimen pikiran berikut ini membantu Anda memahami lebih baik mengapa probabilitas nol dalam distribusi kontinu: Bayangkan Anda memiliki roda keberuntungan . Biasanya, roda dipartisi di beberapa sektor terpisah, mungkin 20 atau lebih. Jika semua sektor memiliki wilayah yang sama, Anda akan memiliki probabilitas untuk memukul salah satu sektor tertentu (misalnya harga utama). Jumlah dari semua probabilitas adalah 1, karena . Lebih umum: Jika ada $Pr(X=a)$ $1/20$ $20\cdot 1/20 = 1$ $m$ sektor terdistribusi secara merata pada roda, setiap sektor memiliki probabilitas tertabrak (probabilitas seragam). Tetapi apa yang terjadi jika kami memutuskan untuk membagi roda menjadi sejuta sektor. Sekarang probabilitas memukul salah satu sektor-sektor tertentu (hadiah utama), sangat kecil: . Selanjutnya, perhatikan bahwa penunjuk secara teoritis dapat berhenti pada posisi roda yang tidak terbatas. Jika kami ingin membuat hadiah terpisah untuk setiap titik pemberhentian yang mungkin, kami harus mempartisi roda dalam jumlah tak terbatas "sektor" dari area yang sama (tetapi masing-masing memiliki area 0). Tetapi probabilitas apa yang harus kita berikan pada masing-masing "sektor" ini? Itu harus nol $1/m$ $1/10^{6}$ karena jika probabilitas untuk masing-masing "sektor" akan positif dan sama, jumlah dari angka-angka positif tak terhingga menyimpang, yang menciptakan kontradiksi (probabilitas total harus 1). Itu sebabnya kita hanya bisa menetapkan probabilitas ke interval , ke area nyata di setir.

Lebih teknis: Dalam distribusi kontinyu (misalnya seragam terus menerus , yang normal , dan lain-lain ), probabilitas dihitung dengan integrasi, sebagai daerah di bawah fungsi kepadatan probabilitas (dengan ): Tetapi luas interval panjang 0 adalah 0. $f(x)$ $a\leq b$

P (a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f (x) d x

$P(a\leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f(x) dx$

Lihat dokumen ini untuk analogi roda keberuntungan.

Distribusi Poisson di sisi lain adalah distribusi probabilitas diskrit. Variabel Poisson acak hanya dapat mengambil nilai diskrit (yaitu jumlah anak untuk satu keluarga tidak boleh 1,25). Probabilitas bahwa keluarga memiliki tepat 1 anak tentu bukan nol tetapi positif. Jumlah semua probabilitas untuk semua nilai harus 1. Distribusi diskrit terkenal lainnya adalah: Binomial , binomial negatif , geometris , hypergeometrik , dan banyak lainnya .

— COOLSerdash
sumber

Argumen ini gagal pada titik krusial: tidak selalu demikian halnya bahwa "jumlah angka tak terhingga dari angka positif tidak terbatas." Urutan probabilitas Poisson adalah contoh tandingan! Anda dapat memperbaikinya dengan kualifikasi yang sesuai, seperti menunjukkan bahwa jumlah angka positif tak terhingga banyaknya , tidak peduli seberapa kecil mereka, menyimpang.

— whuber

@whuber Saya pikir itu yang saya maksud ketika saya menulis jawaban tetapi gagal untuk merumuskannya dengan benar. Terimakasih atas peringatannya. Saya harap itu benar sekarang.

— COOLSerdash

1

$1$

@whuber Sekarang saya bingung. Itulah formulasi yang Anda sarankan, saya tambahkan dalam komentar pertama Anda: "[...] seperti menunjukkan bahwa jumlah angka positif tak terhingga banyaknya, tidak peduli sekecil apa pun itu, menyimpang"

— COOLSerdash

@whuber Benar, sekarang sangat jelas. Saya menambahkan kualifikasi ke jawaban saya. Terima kasih lagi untuk menunjukkannya.

— COOLSerdash

"Probabilitas variabel acak kontinu (X) didefinisikan sebagai area di bawah kurva PDF-nya. Dengan demikian, hanya rentang nilai yang dapat memiliki probabilitas nol. Probabilitas bahwa variabel acak kontinu sama dengan beberapa nilai selalu nol." halaman referensi: http://support.minitab.com/en-us/minitab-express/1/help-and-how-to/basic-statistics/probability-distributions/supporting-topics/basics/continuous-and-discrete -kemungkinan-distribusi /

— Rui HUANG
sumber