Apakah mungkin membuktikan hipotesis nol?

Seperti yang dinyatakan dalam pertanyaan - Apakah mungkin untuk membuktikan hipotesis nol? Dari pemahaman hipotesis saya yang terbatas, jawabannya adalah tidak, tetapi saya tidak dapat memberikan penjelasan yang tepat untuk itu. Apakah pertanyaannya memiliki jawaban pasti?

Jika Anda berbicara tentang dunia nyata & bukan logika formal, jawabannya tentu saja. "Bukti" dari segala sesuatu dengan cara empiris tergantung pada kekuatan kesimpulan yang dapat dibuat, yang pada gilirannya ditentukan oleh validitas proses pengujian sebagaimana dievaluasi dalam terang segala sesuatu yang diketahui tentang bagaimana dunia bekerja (yaitu, teori). Setiap kali seseorang menerima bahwa hasil-hasil empiris tertentu membenarkan penolakan terhadap hipotesis "nol", seseorang harus membuat penilaian semacam ini (validitas desain; dunia bekerja dengan cara tertentu), sehingga harus membuat asumsi analog yang diperlukan untuk membenarkan menyimpulkan "bukti dari" null " tidak bermasalah sama sekali.

Jadi, apa asumsi analog? Berikut adalah contoh "membuktikan nol" yang umum dalam ilmu kesehatan & dalam ilmu sosial. (1) Tentukan "null" atau "no effect" dengan cara yang secara praktis bermakna. Katakanlah saya percaya bahwa saya harus melakukan diri sendiri seolah-olah tidak ada perbedaan yang berarti antara 2 perawatan, t1 & t2, untuk penyakit kecuali satu memberikan peluang 3% lebih baik untuk sembuh daripada yang lain. (2) Mencari tahu desain yang valid untuk menguji apakah ada efek - dalam kasus ini, apakah ada perbedaan dalam kemungkinan pemulihan antara t1 & t2. (3) Lakukan analisis daya untuk menentukan apakah ukuran sampel apa yang diperlukan untuk menghasilkan kemungkinan yang cukup tinggi - yang saya yakini mengandalkan apa yang diberikan 'dengan asumsi itu ada. Biasanya orang mengatakan kekuatan sudah cukup jika kemungkinan mengamati efek yang ditentukan pada alpha tertentu setidaknya 0,80, tetapi tingkat kepercayaan yang benar sebenarnya adalah masalah seberapa benci Anda terhadap kesalahan - sama seperti ketika Anda memilih p -nilai ambang batas untuk "menolak nol." (4) Lakukan tes empiris & amati efeknya. Jika di bawah nilai "perbedaan bermakna" yang ditentukan - 3% dalam contoh saya - Anda telah "membuktikan" bahwa tidak ada "efek".

Untuk perawatan yang baik untuk masalah ini, lihat Streiner, DL Unicorns Do Exist: Tutorial tentang “Membuktikan” Hipotesis Null . Canadian Journal of Psychiatry 48, 756-761 (2003).

Jawaban dari sisi matematika: adalah mungkin jika dan hanya jika "hipotesis adalah satu sama lain".

Jika dengan "membuktikan" maksud Anda memiliki aturan yang dapat "menerima" (harus saya katakan itu :)) $H_0$ dengan probabilitas untuk membuat kesalahan yang nol, maka Anda sedang mencari apa yang bisa disebut "tes ideal" dan ini ada:

Jika Anda menguji apakah variabel acak diambil dari P 0 atau dari P 1 (yaitu pengujian H 0 : X ⇝ P 0 versus H 1 : X ⇝ P 1 ) maka ada tes yang ideal jika dan hanya jika P 1 ⊥ P 0 ( P 1 dan P 0 adalah "satu sama lain"). $X$$P_0$$P_1$$H_0: X\leadsto P_0$$H_1: X\leadsto P_1$ $P_1\bot P_0$$P_1$$P_0$

Jika Anda tidak tahu apa artinya "saling tunggal" saya dapat memberi Anda sebuah contoh: dan U [ 3 , 4 ] (seragam pada [ 0 , 1 ] dan [ 3 , 4 ] ) adalah satu sama lain . Ini berarti jika Anda ingin menguji$\mathcal{U}[0,1]$$\mathcal{U}[3,4]$$[0,1]$$[3,4]$

versus H 1 : X ⇝ U [ 3 , 4 $H_0: X\leadsto \mathcal{U}[0,1]$$H_1: X\leadsto \mathcal{U}[3,4]$

maka ada tes yang ideal (tebak apa itu :)): tes yang tidak pernah salah!

Jika dan P 0 tidak saling tunggal, maka ini tidak ada (ini hasil dari "hanya jika bagian")!$P_1$$P_0$

Dalam istilah non-matematika, ini berarti bahwa Anda dapat membuktikan nol jika dan hanya jika buktinya sudah ada dalam asumsi Anda (yaitu jika dan hanya jika Anda telah memilih hipotesis dan H 1 yang sangat berbeda sehingga pengamatan tunggal dari H 0 tidak dapat diidentifikasi sebagai satu dari H 1 dan sebaliknya). $H_0$$H_1$$H_0$$H_1$

Ya ada jawaban yang pasti. Jawaban itu adalah: Tidak, tidak ada cara untuk membuktikan hipotesis nol. Yang terbaik yang dapat Anda lakukan, sejauh yang saya tahu, adalah membuang interval kepercayaan di sekitar perkiraan Anda dan menunjukkan bahwa pengaruhnya sangat kecil sehingga mungkin pada dasarnya tidak ada.

Bagi saya, kerangka teori keputusan menyajikan cara termudah untuk memahami "hipotesis nol". Pada dasarnya dikatakan bahwa setidaknya harus ada dua alternatif: hipotesis Null, dan setidaknya satu alternatif. Maka "masalah keputusan" adalah menerima salah satu alternatif, dan menolak yang lain (walaupun kita harus tepat tentang apa yang kita maksudkan dengan "menerima" dan "menolak" hipotesis). Saya melihat pertanyaan "bisakah kita membuktikan hipotesis nol?" sebagai analog dengan "bisakah kita selalu membuat keputusan yang benar?". Dari perspektif teori keputusan, jawabannya jelas ya jika

1) tidak ada ketidakpastian dalam proses pengambilan keputusan, karena itu adalah latihan matematika untuk mencari tahu apa keputusan yang benar.

2) kami menerima semua premis / asumsi masalah lainnya. Yang paling kritis (saya pikir) adalah bahwa hipotesis yang kami putuskan adalah lengkap, dan satu (dan hanya satu) dari mereka harus benar, dan yang lain harus salah.

Dari sudut pandang yang lebih filosofis, tidak mungkin untuk "membuktikan" apa pun, dalam arti bahwa "bukti" sepenuhnya tergantung pada asumsi / aksioma yang mengarah pada "bukti" itu. Saya melihat bukti sebagai semacam kesetaraan logis daripada "fakta" atau "kebenaran" dalam arti bahwa jika buktinya salah, asumsi yang menyebabkannya juga salah.

Menerapkan ini ke "membuktikan hipotesis nol" Saya bisa "membuktikan" itu benar dengan hanya mengasumsikan bahwa itu benar, atau dengan mengasumsikan bahwa itu benar jika kondisi tertentu terpenuhi (seperti nilai statistik).

Ya, adalah mungkin untuk membuktikan nol - dalam arti yang persis sama bahwa mungkin untuk membuktikan alternatif apa pun ke nol. Dalam analisis Bayesian, sangat mungkin untuk peluang yang mendukung nol versus alternatif yang diusulkan untuk menjadi besar secara sewenang-wenang. Selain itu, adalah salah untuk menyatakan, karena beberapa jawaban di atas menyatakan, bahwa seseorang hanya dapat membuktikan nol jika alternatifnya terpisah (jangan tumpang tindih dengan nol). Dalam analisis Bayesian setiap hipotesis memiliki distribusi probabilitas sebelumnya. Distribusi ini menyebarkan massa satuan probabilitas sebelumnya di atas alternatif yang diusulkan. Hipotesis nol menempatkan semua probabilitas sebelumnya pada satu alternatif. Pada prinsipnya, alternatif ke nol dapat menempatkan semua probabilitas sebelumnya pada beberapa alternatif non-nol (pada "titik" lain), tapi ini jarang terjadi. Secara umum, alternatif lindung nilai, yaitu, mereka menyebarkan massa probabilitas yang sama sebelumnya keluar atas alternatif lain - baik dengan mengesampingkan alternatif nol, atau, lebih umum, termasuk alternatif nol. Pertanyaannya kemudian menjadi hipotesis mana yang menempatkan probabilitas paling sebelumnya di mana data eksperimental benar-benar jatuh. Jika data jatuh dengan ketat di sekitar di mana nol mengatakan mereka harus jatuh, maka itu akan menjadi odds-on favority (di antara hipotesis yang diajukan) BAHKAN BAHWA ITU TERMASUK DALAM (NESTED IN, TIDAK MUTUALLY SECARA EKSKLUSIF DENGAN) ALTERNATIF KEPADA ITU. Percaya bahwa tidak mungkin bagi alternatif bersarang untuk menjadi lebih mungkin daripada set di mana ia bersarang mencerminkan kegagalan untuk membedakan antara probabilitas dan kemungkinan. Walaupun tidak mungkin untuk komponen himpunan menjadi kurang mungkin daripada seluruh himpunan, sangat mungkin untuk kemungkinan posterior komponen himpunan hipotesis lebih besar daripada kemungkinan posterior himpunan secara keseluruhan. Kemungkinan posterior suatu hipotesis adalah produk dari fungsi kemungkinan dan distribusi probabilitas sebelumnya yang diajukan hipotesis. Jika suatu hipotesis menempatkan semua probabilitas sebelumnya di tempat yang tepat (misalnya, pada nol), maka ia akan memiliki kemungkinan posterior lebih tinggi daripada hipotesis yang menempatkan beberapa probabilitas sebelumnya di tempat yang salah (bukan pada nol). Kemungkinan posterior suatu hipotesis adalah produk dari fungsi kemungkinan dan distribusi probabilitas sebelumnya yang diajukan hipotesis. Jika suatu hipotesis menempatkan semua probabilitas sebelumnya di tempat yang tepat (misalnya, pada nol), maka ia akan memiliki kemungkinan posterior lebih tinggi daripada hipotesis yang menempatkan beberapa probabilitas sebelumnya di tempat yang salah (bukan pada nol). Kemungkinan posterior suatu hipotesis adalah produk dari fungsi kemungkinan dan distribusi probabilitas sebelumnya yang diajukan hipotesis. Jika suatu hipotesis menempatkan semua probabilitas sebelumnya di tempat yang tepat (misalnya, pada nol), maka ia akan memiliki kemungkinan posterior lebih tinggi daripada hipotesis yang menempatkan beberapa probabilitas sebelumnya di tempat yang salah (bukan pada nol).

Secara teknis, tidak, hipotesis nol tidak dapat dibuktikan. Untuk setiap ukuran sampel yang tetap dan terbatas, akan selalu ada beberapa ukuran efek yang kecil tetapi tidak nol yang uji statistik Anda hampir tidak memiliki kekuatan. Namun, yang lebih praktis, Anda dapat membuktikan bahwa Anda berada dalam beberapa epsilon kecil dari hipotesis nol, sehingga penyimpangan yang lebih kecil dari epsilon ini secara praktis tidak signifikan.

Ada kasus di mana bukti dimungkinkan. Misalkan Anda memiliki sekolah dan hipotesis nol Anda adalah bahwa jumlah anak laki-laki dan perempuan sama. Ketika ukuran sampel meningkat, ketidakpastian dalam rasio anak laki-laki dan perempuan cenderung berkurang, akhirnya mencapai kepastian (yang saya anggap Anda maksud dengan bukti) ketika seluruh populasi murid dijadikan sampel.

Tetapi jika Anda tidak memiliki populasi terbatas, atau jika Anda mengambil sampel dengan penggantian dan tidak dapat menemukan individu yang telah diamplas, maka Anda tidak dapat mengurangi ketidakpastian menjadi nol dengan sampel terbatas.

Saya ingin membahas di sini poin yang banyak pengguna agak bingung. Apa arti sebenarnya dari pernyataan Hipotesis Null H0: p = 0? Apakah kita mencoba menentukan apakah parameter p adalah nol? Tentu saja tidak, tidak ada cara untuk mencapai tujuan seperti itu.

Apa yang ingin kami buat adalah bahwa, mengingat set data, nilai parameter yang dievaluasi (atau tidak) tidak terlihat dari nol. Ingat bahwa NHST "tidak adil" terhadap hipotesis alternatif: nol dianggap berasal dari Tingkat Kepercayaan 95%, dan hanya 5% ke alternatif. Karena itu hasil "tidak signifikan" tidak berarti bahwa H0 berlaku tetapi hanya bahwa kami tidak menemukan bukti yang cukup bahwa alternatifnya mungkin.