Definisi waktu autokorelasi (untuk ukuran sampel yang efektif)

Saya telah menemukan dua definisi dalam literatur untuk waktu autokorelasi dari serangkaian waktu yang stasioner:

$$\tau_a = 1+2\sum_{k=1}^\infty \rho_k \quad \text{versus} \quad \tau_b = 1+2\sum_{k=1}^\infty \left|\rho_k\right|$$

di mana adalah autokorelasi pada lagk. $\rho_k = \frac{\text{Cov}[X_t,X_{t+h}]}{\text{Var}[X_t]}$$k$

Salah satu penerapan waktu autokorelasi adalah menemukan "ukuran sampel efektif": jika Anda memiliki pengamatan seri waktu, dan Anda tahu waktu autokorelasi τ , maka Anda dapat berpura-pura memiliki$n$$\tau$

$$n_\text{eff} = \frac{n}{\tau}$$

sampel independen bukannya berkorelasi untuk tujuan menemukan rata-rata. Memperkirakan τ dari data adalah non-sepele, tetapi ada beberapa cara untuk melakukannya (lihat Thompson 2010 ).$n$$\tau$

Definisi tanpa nilai absolut, , tampaknya lebih umum dalam literatur; tetapi ia mengakui kemungkinan τ a < 1 . Menggunakan paket R dan "coda":$\tau_a$$\tau_a<1$

require(coda)
ts.uncorr <- arima.sim(model=list(),n=10000)         # white noise 
ts.corr <- arima.sim(model=list(ar=-0.5),n=10000)    # AR(1)
effectiveSize(ts.uncorr)                             # Sanity check
    # result should be close to 10000
effectiveSize(ts.corr)
    # result is in the neighborhood of 30000... ???

Fungsi "effectiveSize" dalam "coda" menggunakan definisi waktu autokorelasi yang setara dengan , di atas. Ada beberapa paket R lain di luar sana yang menghitung ukuran sampel efektif atau waktu autokorelasi, dan semua yang saya coba memberikan hasil yang konsisten dengan ini: bahwa proses AR (1) dengan koefisien AR negatif memiliki$\tau_a$ sampel lebih efektif daripada yang berkorelasi seri waktu. Ini sepertinya aneh.

Jelas, ini tidak akan pernah terjadi di $\tau_b$ definisi waktu autokorelasi .

Apa definisi waktu autokorelasi yang benar? Apakah ada yang salah dengan pemahaman saya tentang ukuran sampel yang efektif? Hasil ditunjukkan di atas sepertinya salah ... apa yang terjadi?$n_\text{eff} > n$

$X_1, X_2, \ldots$$\mu$

$$\hat{\mu} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n X_k$$ $\mu$$n^{-1}$$\hat{\mu}$ $$\frac{1}{n^2} \sum_{k, l=1}^n \text{cov}(X_k, X_l) = \frac{1}{n}\left(1 + 2\left(\frac{n-1}{n} \rho_1 + \frac{n-2}{n} \rho_2 + \ldots + \frac{1}{n} \rho_{n-1}\right) \right) \simeq \frac{\tau_a}{n}.$$ $n$$n_{\text{eff}} = n/\tau_a$$n_{\text{eff}}^{-1}$$n_{\text{eff}}$$n_{\text{eff}} = n/\tau_a$

$n^{-1}$$n_{\text{eff}} > n$

Lihat http://arxiv.org/pdf/1403.5536v1.pdf

dan

https://cran.r-project.org/web/packages/mcmcse/mcmcse.pdf

untuk ukuran sampel yang efektif. Saya pikir formulasi alternatif menggunakan rasio varians sampel dan varians rantai Markov asimptotik melalui batch rata-rata adalah penduga yang lebih tepat.