Korelasi yang dapat dicapai untuk variabel acak eksponensial


12

Berapakah kisaran korelasi yang dapat dicapai untuk pasangan variabel acak terdistribusi eksponensial dan , di mana adalah parameter tingkat?X1Exp(λ1)X2Exp(λ2)λ1,λ2>0


1
Pertanyaan ini terkait dengan komentar sampingan di sini .
QuantIbex

Jawaban:


9

Biarkan (resp. \ Rho _ {\ max} ) menunjukkan batas bawah (resp. Upper) dari korelasi yang dapat dicapai antara X_1 dan X_2 . Batas \ rho _ {\ min} dan \ rho _ {\ max} tercapai ketika X_1 dan X_2 masing-masing adalah countermonotonic dan comonotonic (lihat di sini ).ρminρmaxX1X2ρminρmaxX1X2

Batas bawah
Untuk menentukan batas bawah kami membangun pasangan variabel eksponensial countermonotonic dan menghitung korelasinya.ρmin

Kondisi yang diperlukan dan cukup yang disebutkan di sini dan transformasi integral probabilitas menyediakan cara yang nyaman untuk membangun variabel acak dan sedemikian rupa sehingga mereka countermonotonic. Ingat bahwa fungsi distribusi eksponensial adalah , sehingga fungsi kuantil adalah .X1X2
F(x)=1exp(λx)F1(q)=λ1log(1q)

Misalkan menjadi variabel acak berdistribusi seragam, maka juga terdistribusi seragam dan variabel acak memiliki distribusi eksponensial dengan tingkat dan . Selain itu, mereka countermonotonic sejak dan , dan fungsi dan masing-masing meningkat dan menurun.UU(0,1)1U

X1=λ11log(1U),and X2=λ21log(U)
λ1λ2X1=h1(U)X2=h2(U)h1(x)=λ11log(1x)h2(x)=λ11log(x)

Sekarang, mari kita hitung korelasi dan . Berdasarkan properti distribusi eksponensial, kita memiliki , , , dan . Juga, kami memiliki manaX1X2E(X1)=λ11E(X2)=λ21var(X1)=λ12var(X2)=λ22

E(X1X2)=λ11λ21E{log(1U)log(U)}=λ11λ2101log(1u)log(u)fU(u)du=λ11λ2101log(1u)log(u)du=λ11λ21(2π26),
fU(u)1adalah fungsi kepadatan distribusi seragam standar. Untuk kesetaraan terakhir saya mengandalkan WolframAlpha .

Dengan demikian, Perhatikan bahwa batas bawah tidak tergantung pada nilai dan , dan bahwa korelasinya tidak pernah mencapai , bahkan ketika kedua margin sama (yaitu, ketika ).

ρmin=corr(X1,X2)=λ11λ21(2π2/6)λ11λ21λ12λ22=1π2/60.645.
λ1λ21λ1=λ2

Batas atas
Untuk menentukan batas atas kita mengikuti pendekatan yang sama dengan sepasang variabel eksponensial komonotonik. Sekarang, biarkan dan mana dan , yang keduanya meningkatkan fungsi. Jadi, variabel acak ini adalah comonotonic dan keduanya terdistribusi secara eksponensial dengan kurs dan .ρmaxX1=g1(U)X2=g2(U)g1(x)=λ11log(1x)g2(x)=λ21log(1x)λ1λ2

Kami telah dan karenanya, Demikian pula untuk batas bawah, batas atas tidak bergantung pada tarif dan .

E(X1X2)=λ11λ21E{log(1U)log(1U)}=λ11λ2101{log(1u)}2du=2λ11λ21,
ρmax=corr(X1,X2)=2λ11λ21λ11λ21λ12λ22=1.
λ1λ2

1
Terima kasih atas kalkulasi Anda. Saya hanya ingin menambahkan bahwa dapat ditemukan segera, memperhatikan bahwa dan adalah dari jenis yang sama: memiliki distribusi , yaitu distribusi . ρmax=1X1X2λ1λ2X1Exp(λ2)X2
user48713

2
(+1). Perhatikan bahwa batas atas jelas setelah mengamati dua variabel eksponensial yang berbeda hanya dengan faktor skala. Sama jelasnya bahwa batas bawah tidak dapat mencapai ketika (karena jika tidak, kemiringannya akan menjadi nol). 1λ1λ2
whuber
Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.