Berapa nilai yang diharapkan dari distribusi Dirichlet yang dimodifikasi? (masalah integrasi)

Sangat mudah untuk menghasilkan variabel acak dengan distribusi Dirichlet menggunakan variabel Gamma dengan parameter skala yang sama. Jika:

$X_i \sim \text{Gamma}(\alpha_i, \beta)$

Kemudian:

$\left(\frac{X_1}{\sum_j X_j},\; \ldots\; , \frac{X_n}{\sum_j X_j}\right) \sim \text{Dirichlet}(\alpha_1,\;\ldots\;,\alpha_n)$

Masalah Apa yang terjadi jika parameter skala tidak sama?

$X_i \sim \text{Gamma}(\alpha_i, \beta_i)$

Lalu apa distribusi variabel ini?

$\left(\frac{X_1}{\sum_j X_j},\; \ldots\; , \frac{X_n}{\sum_j X_j}\right) \sim \; ?$

Bagi saya itu akan cukup untuk mengetahui nilai yang diharapkan dari distribusi ini.
Saya membutuhkan rumus aljabar tertutup perkiraan yang dapat dievaluasi dengan sangat cepat oleh komputer.
Katakanlah perkiraan dengan ketelitian 0,01 sudah cukup.
Anda dapat mengasumsikan bahwa:

$\alpha_i, \beta_i \in \mathbb{N}$

Catatan Singkatnya, tugasnya adalah untuk menemukan perkiraan integral ini:

$f(\vec{\alpha}, \vec{\beta}) = \int_{\mathbb{R}^n_+} \;\frac{x_1}{\sum_j x_j} \cdot \prod_j \frac{\beta_j^{\alpha_j}}{\Gamma(\alpha_j)} x_j^{\alpha_j - 1} e^{-\beta_j x_j} \;\; dx_1\ldots dx_n$

— Łukasz Lew
sumber

@ Łukasz Bisakah Anda mengatakan sesuatu tentang parameter , , dan ? Dimungkinkan untuk mendapatkan ekspresi yang tepat untuk dan dengan demikian memperkirakan ekspektasi rasio, tetapi untuk kombinasi tertentu dari parameter seseorang dapat mengeksploitasi pendekatan Normal atau saddlepoint dengan sedikit kerja. Saya tidak berpikir akan ada metode pendekatan universal, yang mengapa pembatasan tambahan akan diterima.

n

$n$

α_{i}

$\alpha_i$

β_{i}

$\beta_i$

\sum_{j} X_{j}

$\sum_j{X_j}$

— whuber

dan

berkorelasi sehingga kita harus memperkirakan integral itu sendiri.

sering berupa angka kecil seperti 1 atau 2 dan kadang-kadang sebesar 10.000. Demikian pula dengan

tetapi biasanya 10 kali lebih besar dari

X_{1}

$X_1$

\sum_{j} X_{j}

$\sum_j X_j$

α_{i}

$\alpha_i$

β_{i}

$\beta_i$

α_{i}

$\alpha_i$

— Łukasz Lew

Masalahnya dengan

kecil

. Jika semua

besar maka perkiraan baik dari keseluruhan integral adalah:

α_{i}

$\alpha_i$

α_{i}

$\alpha_i$

\frac{α_{1} / β_{1}}{\sum_{j} α_{j} / β_{j}}

$\frac{\alpha_1/\beta_1}{\sum_j \alpha_j/\beta_j}$

— Łukasz Lew

@ Łukasz Jika Anda perlu mengevaluasi ekspresi ekspektasi, mengapa Anda memerlukan formula aljabar? Saya berpikir dalam menerapkan beberapa trik numerik untuk mendapatkan harapan tetapi saya butuh umpan balik :)

— deps_stats

Saya perlu mengevaluasi berkali-kali dalam program saya. Itu harus sangat cepat, yaitu tidak ada loop dan lebih disukai tidak terlalu banyak divisi.

— Łukasz Lew

Hanya komentar awal, jika Anda ingin kecepatan komputasi, Anda biasanya harus mengorbankan akurasi. "Lebih akurat" = "Lebih banyak waktu" secara umum. Anyways di sini adalah perkiraan urutan kedua, harus meningkatkan kira-kira "mentah" yang Anda sarankan dalam komentar Anda di atas:

E (\frac{X_{j}}{\sum_{i} X_{i}}) \approx \frac{E [X_{j}]}{E [\sum_{i} X_{i}]} - \frac{c o v [\sum_{i} X_{i}, X_{j}]}{E [\sum_{i} X_{i}]^{2}} + \frac{E [X_{j}]}{E [\sum_{i} X_{i}]^{3}} V a r [\sum_{i} X_{i}]

$E\Bigg(\frac{X_{j}}{\sum_{i}X_{i}}\Bigg)\approx \frac{E[X_{j}]}{E[\sum_{i}X_{i}]} -\frac{cov[\sum_{i}X_{i},X_{j}]}{E[\sum_{i}X_{i}]^2} +\frac{E[X_{j}]}{E[\sum_{i}X_{i}]^3} Var[\sum_{i}X_{i}]$

= \frac{α_{j}}{\sum_{i} \frac{β_{j}}{β_{i}} α_{i}} \times [1 - \frac{1}{(\sum_{i} \frac{β_{j}}{β_{i}} α_{i})} + \frac{1}{(\sum_{i} \frac{α_{i}}{β_{i}})^{2}} (\sum_{i} \frac{α_{i}}{β_{i}^{2}})]

$= \frac{\alpha_{j}}{\sum_{i} \frac{\beta_{j}}{\beta_{i}}\alpha_{i}}\times\Bigg[1 - \frac{1}{\Bigg(\sum_{i} \frac{\beta_{j}}{\beta_{i}}\alpha_{i}\Bigg)} + \frac{1}{\Bigg(\sum_{i} \frac{\alpha_{i}}{\beta_{i}}\Bigg)^2}\Bigg(\sum_{i} \frac{\alpha_{i}}{\beta_{i}^2}\Bigg)\Bigg]$

EDIT Penjelasan untuk ekspansi di atas diminta. Jawaban singkatnya adalah wikipedia . Jawaban panjang diberikan di bawah ini.

$f(x,y)=\frac{x}{y}$ $f$ $X-E(X)$ $Y-E(Y)$

\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} = 0

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=0$

\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} = - \frac{1}{y^{2}}

$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=-\frac{1}{y^2}$

\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} = 2 \frac{x}{y^{3}}

$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=2\frac{x}{y^3}$

Dan seri taylor hingga urutan kedua diberikan oleh:

\frac{x}{y} \approx \frac{μ_{x}}{μ_{y}} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{μ_{y}^{2}} 2 (x - μ_{x}) (y - μ_{y}) + 2 \frac{μ_{x}}{μ_{y}^{3}} (y - μ_{y})^{2})

$\frac{x}{y} \approx \frac{\mu_x}{\mu_y}+\frac{1}{2}\Bigg(-\frac{1}{\mu_y^2}2(x-\mu_x)(y-\mu_y) + 2\frac{\mu_x}{\mu_y^3}(y-\mu_y)^2 \Bigg)$

Mengambil harapan hasil:

E [\frac{x}{y}] \approx \frac{μ_{x}}{μ_{y}} - \frac{1}{μ_{y}^{2}} E [(x - μ_{x}) (y - μ_{y})] + \frac{μ_{x}}{μ_{y}^{3}} E [(y - μ_{y})^{2}]

$E\Big[\frac{x}{y}\Big] \approx \frac{\mu_x}{\mu_y}-\frac{1}{\mu_y^2}E\Big[(x-\mu_x)(y-\mu_y)\Big] + \frac{\mu_x}{\mu_y^3}E\Big[(y-\mu_y)^2\Big]$

Itulah jawaban yang saya berikan. (meskipun saya awalnya lupa tanda minus pada periode kedua)

— probabilityislogic
sumber

Ini persis seperti yang saya butuhkan. Bisakah Anda menjelaskan bagaimana Anda mendapatkan ekspansi ini? Saya mencoba dalam banyak hal dan tidak dapat melakukan itu ...

— Lewukasz Lew