Kapan fungsi distribusi binomial di atas / di bawah fungsi distribusi Poisson yang membatasi?

Misalkan menunjukkan fungsi distribusi binomial (DF) dengan parameter n ∈ N dan p ∈ ( 0 , 1 ) dievaluasi pada r ∈ { 0 , 1 , … , n } : B ( n , p , r ) = r ∑ i = 0 ($B(n,p,r)$$n \in \mathbb N$$p \in (0,1)$$r \in \{0,1,\ldots,n\}$ dan biarkanF(ν,r)menunjukkan Poisson DF dengan parametera∈R+dievaluasi padar∈{0,1,2,...}: F(a,r)=e-ar ∑ i=0a

$$\begin{equation} B(n,p,r) = \sum_{i=0}^r \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i}, \end{equation}$$ $F(\nu,r)$$a \in \mathbb R^+$$r \in \{0,1,2,\ldots\}$ $$\begin{equation} F(a,r) = e^{-a} \sum_{i=0}^r \frac{a^i}{i!}. \end{equation}$$

Pertimbangkan , dan biarkan n didefinisikan sebagai ⌈ a / p - d ⌉ , di mana d adalah konstanta dari urutan 1 . Karena n p → a , fungsi B ( n , p , r ) konvergen ke F ( a , r ) untuk semua $p \rightarrow 0$$n$$\lceil a/p-d \rceil$$d$$1$$np \rightarrow a$$B(n,p,r)$$F(a,r)$$r$ , seperti diketahui.

Dengan definisi di atas untuk , saya tertarik untuk menentukan nilai-nilai a yang B ( n , p , r ) > F ( a , r $n$$a$ dan sama seperti yang B ( n , p , r ) < F ( a , r

$$\begin{equation} B(n,p,r) > F(a,r) \quad \forall p \in (0,1), \end{equation}$$ Saya telah dapat membuktikan bahwa ketidaksetaraan pertama berlaku untuk yang lebih kecil dari r ; lebih khusus, untuk yang lebih rendah dari batas tertentu g ( r ) , dengan g ( r ) > $$\begin{equation} B(n,p,r) < F(a,r) \quad \forall p \in (0,1). \end{equation}$$ $a$$r$$a$$g(r)$ . Demikian pula, ketidaksetaraan kedua berlaku untuk sebuah cukup besar dari r , yaitu untuk suatu lebih besar dari batas tertentu h ( r ) , dengan h ( $g(r)<r$$a$$r$$a$$h(r)$$h(r)>r$ . (Ekspresi dari batas-batas dan h ( r ) tidak relevan di sini. Saya akan memberikan rincian kepada siapa pun tertarik.) Namun, hasil numerik menunjukkan bahwa mereka kesenjangan tahan selama batas kurang ketat, yaitu, untuk sebuah lebih dekat dengan $g(r)$$h(r)$$a$$r$ daripada yang bisa saya buktikan.

Jadi, saya ingin tahu apakah ada beberapa teorema atau hasil yang menetapkan di mana kondisi masing-masing berlaku ketidaksetaraan (untuk semua $p$ ); yaitu ketika DF binomial dijamin berada di atas / di bawah Poisson DF pembatasnya. Jika teorema semacam itu tidak ada, ide atau petunjuk apa pun di arah yang benar akan dihargai.

Harap perhatikan bahwa pertanyaan serupa, yang dirumuskan dalam hal fungsi beta dan gamma yang tidak lengkap, telah diposting di math.stackexchange.com tetapi tidak mendapat jawaban.

Berkenaan dengan hal berikut:

• mean dari dist Binomial adalah $np$

• varians adalah $np(1-p)$

• rata-rata dari Poisson dist adalah , yang dapat kita bayangkan sebagai n × $\lambda$$n\times p$

• varians dari Poisson adalah sama dengan mean

Sekarang, jika Poisson adalah batas untuk Binomial dengan parameter dan p , sehingga n meningkat hingga tak terhingga dan p menurun ke nol sementara produk mereka tetap konstan, maka dengan asumsi bahwa n dan p tidak terkonvergensi ke batas masing-masing, ungkapan n p selalu lebih besar dari n p ( 1 - p $n$$p$$n$$p$$n$$p$$np$$np(1-p)$ , karena varians dari Binomial adalah kurang dari Poisson. Itu akan menyiratkan bahwa Binomial berada di bawah di ekor dan di atas di tempat lain.