Apakah menerapkan ARMA-GARCH memerlukan stasioneritas?

14

Saya akan menggunakan model ARMA-GARCH untuk seri waktu keuangan dan bertanya-tanya apakah seri harus stasioner sebelum menerapkan model tersebut. Saya tahu untuk menerapkan model ARMA seri harus stasioner, tetapi saya tidak yakin untuk ARMA-GARCH karena saya termasuk kesalahan GARCH yang menyiratkan pengelompokan volatilitas dan varians tidak konstan dan karenanya seri non-stasioner tidak peduli apa transformasi yang saya lakukan .

Apakah seri waktu keuangan biasanya stasioner atau non-stasioner? Saya mencoba menerapkan tes ADF ke beberapa seri volatil dan mendapat nilai p <0,01 yang tampaknya menunjukkan stasioneritas tetapi prinsip seri volatile itu sendiri memberi tahu kita bahwa seri tersebut tidak stasioner.

Adakah yang bisa menjelaskannya untuk saya?

time-series finance arma

— pergelangan kaki
sumber

11

Menyalin dari abstrak makalah asli Engle :
"Ini adalah nol, proses serial tidak berkorelasi dengan varian tidak konstan bersyarat di masa lalu, tetapi varian tanpa syarat konstan. Untuk proses seperti itu, masa lalu baru-baru ini memberikan informasi tentang varian satu periode perkiraan".

Melanjutkan dengan referensi, seperti penulis yang memperkenalkan pertunjukan GARCH (Bollerslev, Tim (1986). " Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity ", Journal of Econometrics, 31: 307-327) untuk proses GARCH (1,1), cukup bahwa untuk stasioneritas urutan kedua. $\alpha_1 + \beta_1 <1$

Stationaritas (yang diperlukan untuk prosedur estimasi), didefinisikan relatif terhadap distribusi dan momen tanpa syarat .

ADDENDUM
Untuk meringkas diskusi di sini dalam komentar, pendekatan pemodelan GARCH adalah cara yang cerdik untuk memodelkan dugaan heteroskedastisitas dari waktu ke waktu, yaitu dari beberapa bentuk heterogenitas proses (yang akan membuat proses non-stasioner) sebagai fitur yang diamati yang berasal dari keberadaan memori proses, pada dasarnya mendorong stasioneritas pada tingkat tanpa syarat.

Dengan kata lain, kami mengambil dua "lawan besar" kami dalam analisis proses stokastik (heterogenitas dan memori), dan menggunakan yang satu untuk menetralisir yang lain - dan ini memang strategi yang diilhami.

— Alecos Papadopoulos
sumber

1

Saya tidak yakin bagaimana ini menjawab pertanyaan saya? Bisakah Anda jelaskan? Apakah mungkin untuk seri volatile didefinisikan sebagai stasioner?

— ankc

Jika seri waktu menunjukkan pengelompokan volatilitas bukankah itu berarti bahwa rangkaian di non-stasioner dan GARCH tidak dapat diterapkan padanya (jika non-stasioner)?

— ankc

2

Saya menganggapnya dengan "pengelompokan volatilitas" yang Anda maksudkan adalah bahwa rangkaian waktu dicirikan oleh perbedaan yang berbeda dalam interval yang berbeda. Pertama, ini hanya indikasi kemungkinan non-stasioneritas, bukan bukti. Kedua, model ARCH dan perluasannya mencoba menjelaskan "pengelompokan volatilitas" ini dengan memodelkan varian bersyarat sebagai pengubah waktu, sambil mempertahankan asumsi varian tak bersyarat yang konstan (dan karenanya, asumsi stasioneritas orde dua).

— Alecos Papadopoulos

Baiklah mari kita asumsikan bahwa memang ada pengelompokan volatilitas. Serial itu sendiri akan non-stasioner jadi bagaimana saya bisa menerapkan model GARCH ke seri non-stasioner seperti mpikta mengatakan bahwa GARCH harus diterapkan pada seri stasioner.

— ankc

Tidak, pengelompokan volatilitas tidak selalu berarti non-stasioneritas. Jadi jika itu dapat "dijelaskan" oleh pemodelan GARCH, maka Anda dapat beroperasi dengan asumsi stasioneritas tanpa syarat. Memang, ini tampak agak melingkar - tetapi sekali lagi, kita hampir tidak pernah bisa yakin bahwa proses stokastik yang sebenarnya diamati, atau tidak, diam.

— Alecos Papadopoulos

6

Ya seri harus stasioner. Model GARCH sebenarnya proses white noise dengan struktur ketergantungan tidak sepele. Model GARCH Klasik (1,1) didefinisikan sebagai

r_{t} = σ_{t} ε_{t},

$r_t=\sigma_t\varepsilon_t,$

dengan

σ_{t}^{2} = α_{0} + α_{1} ε_{t - 1}^{2} + β_{1} σ_{t - 1}^{2},

$\sigma_t^2=\alpha_0+\alpha_1\varepsilon_{t-1}^2+\beta_1\sigma_{t-1}^2,$

di mana adalah variabel normal standar independen dengan varians unit. $\varepsilon_t$

Kemudian

E r_{t} = E E (r_{t} | ε_{t - 1}, ε_{t - 2}, . . .) = E σ_{t} E (ε_{t} | ε_{t - 1}, ε_{t - 2}, . . .) = 0

$Er_t=EE(r_t|\varepsilon_{t-1},\varepsilon_{t-2},...)=E\sigma_tE(\varepsilon_t|\varepsilon_{t-1},\varepsilon_{t-2},...)=0$

dan

E r_{t} r_{t - h} = E E (r_{t} r_{t - h} | ε_{t - 1}, ε_{t - 2}, . . .) = E r_{t - h} σ_{t} E (ε_{t} | ε_{t - 1}, ε_{t - 2}, . . .) = 0

$Er_tr_{t-h}=EE(r_tr_{t-h}|\varepsilon_{t-1},\varepsilon_{t-2},...)=Er_{t-h}\sigma_{t}E(\varepsilon_t|\varepsilon_{t-1},\varepsilon_{t-2},...)=0$

$h>0$ $r_t$ $r_t^2$ $ARMA(1,1)$

— mpiktas
sumber

Bagaimana sebuah seri bisa diam jika menunjukkan volatilitas? Bagaimana Anda mendefinisikan stasioneritas ketika menerapkan model GARCH?

— ankc

Apakah tidak apa-apa jika saya memasukkan istilah AR dan MA dalam persamaan rata-rata saya? Jika seri kembali menunjukkan beberapa autokorelasi pada kelambatan singkat.

— ankc

Stasioner berarti rerata konstan, varian dan korelasi hanya bergantung pada lag. Istilah AR dan MA dapat dimasukkan dalam persamaan rata-rata. Kunci dalam proses GARCH adalah volatilitas bersyarat. Perhatikan bahwa volatilitas bukan varian. Volatilitas rata-rata adalah varian seri.

— mpiktas

Sebagai referensi mengambil contoh data SP500 dalam R, data kembali tampaknya konstan dalam rata-rata tetapi menunjukkan heteroskedastisitas bersyarat terang-terangan. Jadi, apakah mungkin untuk menerapkan model GARCH meskipun memiliki varian yang tidak konstan?

— ankc

biasanya saya dapat menerapkan model GARCH ke seri log return yang menunjukkan pengelompokan volatilitas? Saya bertanya ini karena saya melihat dalam disertasi bahwa tes ADF diterapkan untuk menguji stasioneritas, jadi saya pikir stasioneritas diperlukan sebelum menerapkan model GARCH .

— ankc

2

Bagi siapa pun yang masih bertanya-tanya tentang pertanyaan ini, saya akan mengklarifikasi - Pengelompokan volatilitas sama sekali tidak menyiratkan bahwa seri ini tidak stasioner. Ini akan menunjukkan bahwa ada rezim varians kondisional bergeser - yang mungkin masih memenuhi keteguhan dari distribusi tanpa syarat.

Model GARCH (1,1) dari Bollerslev tidak lemah saat diam $\alpha_{1}+\beta>1$ , namun itu sebenarnya masih stasioner untuk rentang yang jauh lebih besar, Nelson 1990. Lebih jauh Rahbek & Jensen 2004 (inferensi asimtotik dalam GARCH non-stasioner), menunjukkan bahwa estimator ML dari $\alpha_{1}$ dan $\beta$ konsisten dan asimptotik normal untuk spesifikasi parameter yang memastikan model tidak stasioner. Menggabungkan ini dengan hasil Nelson 1990 (semua GARCH stasioner lemah atau ketat (1,1) memiliki penduga MLE sebagai konsisten dan asimtotik normal), menunjukkan bahwa setiap kombinasi parameter apa pun dari $\alpha_{1}$ dan $\beta>1$ akan memiliki penduga yang konsisten dan normal asimptotik.

Namun penting untuk dicatat bahwa jika model GARCH (1,1) tidak stasioner, suku konstanta dalam varian bersyarat tidak diperkirakan secara konsisten.

Apapun, ini menunjukkan bahwa Anda tidak perlu khawatir tentang stationaritas sebelum memperkirakan model GARCH. Namun Anda harus bertanya-tanya apakah itu tampaknya memiliki distribusi simetris, dan apakah seri memiliki ketekunan yang tinggi, karena ini tidak diperbolehkan dalam model GARCH (1,1) klasik. Ketika Anda telah memperkirakan model, menarik untuk menguji apakah $\alpha_{1}+\beta=1$ jika Anda bekerja dengan jangka waktu keuangan, karena ini akan menyiratkan varian bersyarat tren yang sulit untuk ditiru menjadi kecenderungan perilaku di antara investor. Namun pengujian ini dapat dilakukan dengan uji LR normal.

Stasioneritas cukup disalahpahami, dan hanya sebagian terhubung ke apakah varians atau rata-rata tampaknya berubah secara global - karena ini masih dapat terjadi sementara proses mempertahankan distribusi tanpa syarat konstan. Alasan Anda mungkin berpikir bahwa perubahan dalam varian dapat menyebabkan penyimpangan dari stasioneritas, adalah karena hal seperti pergeseran level permanen dalam persamaan varian (atau persamaan rata-rata) akan secara definisi menghancurkan stasioneritas. Tetapi jika perubahan disebabkan oleh spesifikasi dinamis dari model, itu mungkin masih stasioner meskipun rata-rata tidak mungkin untuk diidentifikasi dan volatilitasnya terus berubah. Contoh lain yang indah dari hal ini adalah model DAR (1,1) yang diperkenalkan oleh Ling pada tahun 2002.

— Lovecraft
sumber

1

Jawaban yang bagus! Apakah DAR (1,1) standar untuk ARIMA (1,1,0)? Jika tidak apa itu & mengapa Anda tidak membahas model ARIMA yang tidak stasioner?

— Michael R. Chernick

1

Stationaritas adalah konsep teoritis yang kemudian dimodifikasi ke bentuk lain seperti Stationaritas Rasa lemah yang dapat diuji dengan mudah. Sebagian besar tes seperti tes adf seperti yang Anda sebutkan tes untuk kondisi linier saja. efek ARCH dibuat untuk seri yang tidak memiliki autokorelasi pada urutan pertama tetapi ada ketergantungan pada seri kuadrat.

Proses ARMA-GARCH yang Anda bicarakan, di sini ketergantungan urutan kedua dihapus menggunakan bagian GARCH dan kemudian setiap ketergantungan dalam istilah linear ditangkap oleh proses ARMA.

Cara untuk pergi adalah untuk memeriksa autokorelasi seri kuadrat, jika ada ketergantungan, kemudian menerapkan model GARCH dan memeriksa residu untuk setiap properti deret waktu linier yang kemudian dapat dimodelkan menggunakan proses ARMA.

— htrahdis
sumber

1

Saya berpikir untuk memasang ARMA terlebih dahulu, kemudian menyesuaikan residunya dengan model GARCH. Apakah ini salah? Bagaimana saya dapat "memeriksa residu untuk setiap properti deret waktu linier yang kemudian dapat dimodelkan menggunakan proses ARMA."? Dapatkah uji ljung-box digunakan untuk mendeteksi efek ARCH?

— ankc

Cara paling sederhana adalah mencari fungsi korelasi otomatis dari seri kuadrat. jika signifikan maka cobalah model GARCH. jika autokorelasi kuadrat residu dihilangkan, maka GARCH memang membantu memodelkan ketergantungan pada deret kuadrat.

— htrahdis

Jika saya melakukan itu, pengembalian rata-rata saya adalah 0 kan? Saya ingin bisa mendapatkan rata-rata yang tidak akan menjadi garis lurus, seperti fungsi rata-rata yang akan bergantung pada istilah AR dan MA + kesalahan GARCH.

— ankc

ada tiga hal: satu adalah keputusan apakah ada efek GARCH hadir, yang lain adalah pembenaran menggunakan ARMA dan GARCH dan yang ketiga adalah untuk benar-benar cocok dengan model ketika kedua di atas adalah afirmatif. pemasangannya tidak sesederhana seperti melakukannya dalam dua tahap yang berbeda. Anda harus menyesuaikan kedua bagian ARMA dan GARCH secara bersamaan. Ada metode yang tersedia untuk ini.

— htrahdis

Apakah penggunaan ARMA dibenarkan jika ada korelasi dalam seri kembali? Saya pikir ada paket di R yang melakukan pemasangan. Saya hanya perlu tahu kapan harus menerapkan ARMA-GARCH atau hanya GARCH. Bisakah saya menggunakan tes ljung-box untuk menguji efek GARCH?

— ankc