Probabilitas bahwa variabel acak kontinu mengasumsikan titik tetap

11

Saya berada di kelas statistik pengantar di mana fungsi kerapatan probabilitas untuk variabel acak kontinu telah didefinisikan sebagai . Saya mengerti bahwa integral tapi saya tidak bisa memperbaikinya dengan intuisi saya tentang variabel acak kontinu. Say X adalah variabel acak yang sama dengan jumlah menit dari waktu t saat kereta tiba. Bagaimana saya menghitung probabilitas bahwa kereta tiba tepat 5 menit dari sekarang? Bagaimana probabilitas ini menjadi nol? Apakah itu tidak mungkin? Bagaimana jika kereta tidak tiba tepat 5 menit dari sekarang, bagaimana hal itu bisa terjadi jika itu probabilitas 0? $P\left\{X\in B\right\}=\int_B f\left(x\right)dx$ $\int\limits_a^af(x)dx=0$

Terima kasih.

— geofflittle
sumber

2

Menempatkan beberapa pertanyaan ini di kepala mereka sangat membantu. Misalnya , jika intuisi Anda mengatakan setiap waktu yang mungkin harus memiliki probabilitas positif yang ketat, maka - karena ada seperangkat waktu yang mungkin tak terhitung dalam interval apa pun - intuisi Anda menyiratkan probabilitas total tak terbatas. Jelas bahwa intuisi itu salah. Satu hal yang harus dilepaskan adalah gagasan bahwa probabilitas nol menyiratkan ketidakmungkinan: itu tidak benar. Demikian pula, probabilitas seseorang tidak menyiratkan kepastian.

— whuber

@whuber Itu yang saya tidak bisa ralat. Jika probabilitas suatu peristiwa terjadi adalah 0, maka itu seharusnya tidak pernah terjadi. Misalnya, jika saya memiliki dadu enam sisi standar, probabilitas saya menggulung angka adalah 0 dan karenanya akan tidak pernah terjadi. Selain itu, bagaimana suatu peristiwa dengan probabilitas 1 tidak menjadi kepastian dalam percobaan berikutnya? Bisakah Anda memberikan contoh?

Z ∖ {1, 2, 3, 4, 5, 6}

$\mathcal{Z}\setminus\left\{1,2,3,4,5,6\right\}$

— geofflittle

1

Misalkan Anda melihat lingkaran di mana akord ditampilkan dan tampaknya menjadi diameter, mendorong Anda untuk bertanya-tanya "apa kemungkinan bahwa akord yang dipilih secara acak tidak akan menjadi diameter?" Ketika akor diperoleh dengan memilih sepasang titik secara seragam dan independen di sepanjang keliling, jawabannya adalah , tetapi peristiwa ini tidak terjadi. Itu memberikan (cukup kuat!) Bukti bahwa akord bukan hasil dari proses acak yang Anda posisikan. Satu pelajaran yang diberikan oleh eksperimen pemikiran semacam itu adalah bahwa intuisi yang didasarkan pada ruang probabilitas terbatas tidak selalu digeneralisasi.

1

$1$

— whuber

8

Anda mungkin jatuh ke dalam perangkap tentang 'lima menit dari sekarang' sebagai berlangsung selama periode waktu yang terbatas (yang akan memiliki probabilitas nol).

"Lima menit dari sekarang" dalam arti variabel kontinu benar-benar instan.

Bayangkan bahwa kedatangan kereta berikutnya didistribusikan secara seragam antara jam 8:00 dan 8:15. Bayangkan lebih jauh kita mendefinisikan kedatangan kereta sebagai terjadi pada saat instan bagian depan kereta melewati titik tertentu di stasiun (mungkin titik tengah platform jika tidak ada tengara yang lebih baik). Pertimbangkan urutan probabilitas berikut:

a) probabilitas kereta tiba antara 8:05 dan 8:10

b) probabilitas kereta tiba antara 8:05 dan 8:06

c) probabilitas kereta tiba antara 8:05:00 dan 8:05:01

d) probabilitas kereta tiba antara 8:05:00 dan 8: 05: 00,01 (yaitu dalam jarak seperseratus detik)

e) probabilitas kereta tiba antara 8:05 dan sepersejuta detik kemudian

f) probabilitas kereta tiba antara 8:05 dan seperempat miliar detik kemudian

... dan seterusnya

Probabilitas bahwa ia tiba tepat pada pukul 8:05 adalah nilai pembatas dari serangkaian probabilitas seperti itu. Probabilitasnya lebih kecil dari setiap . $\epsilon>0$

— Glen_b -Reinstate Monica
sumber

Saya mengerti ini, tetapi, dengan asumsi kereta tiba, itu tiba di suatu titik waktu. Mengapa batas ini tidak bisa tetap menyatu ke beberapa probabilitas?

— geofflittle

Jika Anda memahaminya, seperti yang Anda katakan, Anda dapat menghitung probabilitas dengan cara yang ditunjukkan. Biarkan saya membuatnya lebih mudah: Bayangkan untuk kenyamanan perhitungan bahwa waktu yang tepat bahwa kereta "tiba" (namun kami mendefinisikannya, selama itu benar-benar kontinu) pada waktu yang terdistribusi secara merata pada interval (0,1) (pada apa pun adalah satuan waktu yang nyaman). Berapa probabilitas kereta tiba sebelum waktu , untuk beberapa di dalam interval? Berapa probabilitasnya setelah ? Berapa probabilitasnya antara dan ? ... (

x

$x$

x

$x$

x

$x$

x

$x$

x + d x

$x+dx$

— ctd

(CTD) ... Untuk mengatakan itu 'tiba pada saat ' untuk variabel kontinu, berarti "apa batas yang probabilitas terakhir sebagai . Jadi, apa batas itu? Kerja it out! Itu adalah kemungkinan konvergen ke. Fitur ini terkait erat dengan apa yang membuat pdf kontinu terus menerus.

x

$x$

d x \to 0 ?

$dx\to 0?$

— Glen_b -Reinstate Monica

Perhatikan lebih lanjut bahwa jika batas terakhir itu sama dengan nol, tiga probabilitas Anda (sebelum , setelah dan "at" ) tidak akan menambah 1.

x

$x$

x

$x$

x

$x$

— Glen_b -Reinstate Monica

5

Bagaimana jika kereta tiba tepat 5 menit dari sekarang, bagaimana mungkin itu terjadi jika probabilitasnya 0?

Pernyataan probabilistik bukanlah pernyataan tentang kemungkinan / kelayakan suatu peristiwa. Ini hanya mencerminkan upaya kami untuk mengukur ketidakpastian kami tentang hal itu terjadi. Jadi, ketika suatu fenomena berkelanjutan (atau dimodelkan sebagai satu), maka alat dan keadaan pengetahuan kita saat ini tidak memungkinkan kita untuk membuat pernyataan probabilistik tentang hal itu mengambil nilai tertentu . Kami hanya dapat membuat pernyataan seperti itu terkait dengan suatu rentangnilai-nilai. Tentu saja trik yang biasa dilakukan di sini adalah untuk mendiskritisasi dukungan, untuk mempertimbangkan interval nilai "kecil" daripada nilai tunggal. Karena variabel acak kontinu membawa manfaat dan fleksibilitas besar dibandingkan dengan variabel acak diskrit, ini dianggap sebagai harga yang agak kecil untuk dibayar, mungkin sekecil interval yang terpaksa kami pertimbangkan.

— Alecos Papadopoulos
sumber

Pernyataan-pernyataan ini membingungkan, mungkin karena mereka dapat ditafsirkan dengan berbagai cara. Di beberapa tempat Anda tampaknya menolak validitas penggunaan distribusi terus menerus untuk memodelkan fenomena - dan membuat perbedaan yang tajam antara fenomena dan model - dan di tempat lain Anda tampaknya membuang perbedaan itu sama sekali. Bacaan saya tentang hal itu, yang saya duga tidak dimaksudkan, adalah bahwa Anda berpendapat bahwa fakta matematika bahwa untuk setiap RV kontinu pada kenyataannya selalu salah, tetapi itu membuatnya tampak seperti Anda menyangkal penerapan teori probabilitas!

Pr (X = a) = 0

$\Pr(X=a)=0$

X

$X$

— whuber

2

Hai @whuber. Mengenai perbedaan antara model dan fenomena, peta bumi bukanlah bumi, tetapi dapat membantu Anda menjelajahi bumi. Ini adalah bagaimana saya berpikir tentang model, ketika saya tidak memperlakukan mereka sebagai objek kesenangan intelektual murni (yang juga ada). Adapun masalah "nol probabilitas", itu adalah ketidaksempurnaan-setelah semua, bukankah bagus untuk memiliki semua manfaat kontinuitas dan dapat membuat pernyataan probabilitas tentang nilai tunggal? Tetapi menjadi tidak sempurna tidak membuat sesuatu yang tidak dapat diterapkan tentu saja, dan ketika saya menulis, ketidaksempurnaan ini terbukti tidak begitu penting.

— Alecos Papadopoulos

Anda secara implisit menganggap bahwa probabilitas adalah beberapa hal objektif "di luar sana" dalam analogi pemetaan Anda, tetapi ternyata tidak. Probabilitas hanya memiliki makna dalam suatu model. Saya tidak melihat "ketidaksempurnaan" dalam aksioma probabilitas dan memang, seseorang dapat membuat pernyataan yang akurat dan konsisten tentang probabilitas nilai tunggal: sering kali itu nol.

— whuber

2

@whuber Tidak, saya tidak mengira itu, dan saya tidak mengerti di mana Anda melihat itu dalam apa yang saya tulis. Saya berkata "peta itu bukan bumi", yang berarti "apa yang ada dalam model tidak ada dalam kenyataan", jadi bagaimana Anda bisa menyimpulkan dari yang sebaliknya? "Ketidaksempurnaan" tidak merujuk pada aksioma probabilitas, tetapi pada alat apa yang membawa kita pada aksioma ini, dan seberapa efektif alat ini dapat digunakan untuk memodelkan, mempelajari dan memahami dunia nyata. Dan jelas bahwa saya percaya bahwa probabilitas adalah alat yang efektif.

— Alecos Papadopoulos

4

Untuk memberi Anda beberapa intuisi untuk hal di atas, cobalah eksperimen (pemikiran) berikut:

Gambarlah garis nyata di sekitar nol dengan penggaris. Sekarang ambil panah tajam dan biarkan jatuh dari atas secara acak pada garis (mari kita asumsikan Anda akan selalu mengenai garis dan hanya penentuan posisi lateral yang penting demi argumen).

Namun berkali-kali Anda membiarkan anak panah jatuh secara acak di telepon, Anda tidak akan pernah mencapai titik nol. Mengapa? Pikirkan apa itu titik nol, pikirkan apa lebarnya. Dan setelah Anda mengetahui bahwa lebarnya adalah 0, apakah Anda masih berpikir Anda dapat memukulnya?

Apakah Anda dapat mencapai titik 1, atau -2? Atau hal lain yang Anda pilih pada masalah itu?

Untuk kembali ke matematika, ini adalah perbedaan antara dunia fisik, dan konsep matematika seperti bilangan real (diwakili oleh garis nyata dalam contoh saya). Teori probabilitas memiliki definisi probabilitas yang sedikit lebih rumit daripada yang akan Anda lihat dalam kuliah Anda. Untuk mengukur probabilitas kejadian dan kombinasi dari hasilnya, Anda memerlukan ukuran probabilitas. Baik ukuran Borel dan ukuran Lebesgue didefinisikan untuk interval [a, b] pada garis nyata sebagai: dari definisi ini Anda dapat melihat apa yang terjadi dengan probabilitas jika Anda mengurangi interval ke nomor (pengaturan a = b).

μ ([a, b]) = b - a

$\mu([a,b])=b-a$

Intinya adalah bahwa berdasarkan definisi kita saat ini tentang teori probabilitas (dating kembali ke Kolmogorov) fakta bahwa suatu peristiwa memiliki 0 probabilitas tidak berarti itu tidak dapat terjadi.

Dan sejauh contoh Anda dengan kereta pergi, jika Anda akan memiliki arloji yang sangat akurat, kereta Anda tidak akan pernah tiba tepat waktu.

— berarti-untuk-makna
sumber

Anda mengatakan "Anda tidak akan pernah mencapai titik nol", tetapi apa yang dapat Anda katakan tentang titik yang saya tekan di lemparan panah pertama saya? Biarkan menjadi titik yang saya tekan. Sebelum melempar panah saya, Anda akan mengatakan "Anda tidak akan pernah mencapai titik ", tapi saya baru saja memukulnya. Sekarang apa?

x

$x$

x

$x$

— geofflittle

Saya pikir Anda harus membedakan antara pertanyaan: Berapa probabilitas saya akan mencapai titik tertentu? Jika kami setuju bahwa Anda selalu melempar panah dan selalu mengenai suatu tempat di sepanjang garis, probabilitas itu adalah 1. Juga, saya tidak hanya mengatakan Anda tidak akan memukul 0. Saya mengatakan bahwa probabilitas Anda menekan SETIAP titik yang Anda pilih SEBELUM melempar panah adalah 0. Faktanya, Anda dapat memilih serangkaian poin yang terbatas dan probabilitasnya tetap 0.

— berarti-ke-makna

Mengenai pertanyaan Anda, saya mengerti maksud Anda, tetapi untuk menanyakan tentang probabilitas kejadian setelah kemunculannya adalah tidak masuk akal. Pernyataan seperti P (X = x) mengacu pada realisasi masa depan dari variabel acak X. Jadi, SETELAH Anda mencapai titik tertentu, saya tidak akan mengatakan apa-apa tentang hal itu. (topi besar yang digunakan hanya untuk menunjukkan aliran waktu, bukan untuk berteriak ...)

— bermakna

1

Distribusi probabilitas harus memiliki area persatuan. Jika ukurannya kontinu maka ada nilai tak terhingga yang dapat diambilnya (yaitu nilai tak terhingga sepanjang sumbu x distribusi). Satu-satunya cara agar total area dari distribusi probabilitas dapat terbatas adalah untuk nilai di masing-masing jumlah tak terhingga nilai menjadi nol. Satu dibagi dengan tak terhingga.

Dalam 'kehidupan nyata' tidak ada langkah-langkah yang mengambil jumlah nilai yang tak terbatas (oleh beberapa argumen filosofis berbeda yang tidak terlalu penting di sini) sehingga tidak ada nilai yang perlu mengambil probabilitas tepat nol. Argumen praktis yang bermanfaat didasarkan pada ketepatan yang terbatas dari pengukuran dunia nyata. Jika Anda menggunakan stopwatch yang mengukur sepersepuluh detik, kereta akan memiliki sepersepuluh detik untuk tiba dalam 'tepat' lima menit.

— Michael Lew
sumber

3

Paragraf pertama di sini memberikan beberapa intuisi yang kabur, meskipun langkah deduktifnya tidak benar. Ada banyak distribusi yang mengakui jumlah nilai yang tak terbatas namun setiap nilai memiliki probabilitas positif yang ketat . Paragraf kedua mungkin mendapat untung dari penulisan ulang yang menekankan bahwa untuk setiap nilai pengukuran dikaitkan interval (kecil) dari nilai-nilai yang mungkin dari kuantitas bunga yang mendasarinya.

— kardinal

Apa perbedaan antara nilai positif ketat (dari nilai terbatas dibagi dengan tak terbatas?) Dan nol dalam konteks ini?

— Michael Lew

2

Maksud saya, mungkin dibuat dengan buruk, adalah bahwa argumen dalam paragraf pertama didasarkan pada premis yang salah bahwa karena variabel acak dapat mengambil banyak nilai tak terhingga, setiap hasil individu harus memiliki probabilitas nol. Ini, tentu saja, salah (Poisson, geometric, dll.); konsep "tak terbatas" tidak cukup kuat di sini, kita memerlukan tak terhitung .

— kardinal

0

Orang lain telah menjawab mengapa probabilitasnya nol (jika Anda memperkirakan waktu sebagai kontinu, yang sebenarnya tidak , tapi tetap ...) jadi saya hanya akan mengulanginya sebentar. Untuk menjawab pertanyaan terakhir yang ditanyakan OP --- "bagaimana itu bisa terjadi jika memiliki probabilitas 0?" --- banyak dan banyak hal dapat terjadi jika mereka memiliki probabilitas nol. Semua himpunan probabilitas nol berarti bahwa, dalam ruang hal-hal yang mungkin terjadi, himpunan memakan ruang. Itu semuanya. Ini tidak lebih berarti dari ini. $A$ $A$

Saya menulis ini untuk mudah-mudahan membahas sesuatu yang lain yang dikatakan OP dalam komentar:

Anda mengatakan "Anda tidak akan pernah mencapai titik nol", tetapi apa yang dapat Anda katakan tentang titik yang saya tekan di lemparan panah pertama saya? Biarkan 𝑥 menjadi titik yang saya tekan. Sebelum melempar anak panah saya, Anda akan mengatakan "Anda tidak akan pernah mencapai titik 𝑥", tapi saya baru saja memukulnya. Sekarang apa?

Ini adalah pertanyaan yang sangat bagus dan itu, ketika saya mulai belajar tentang probabilitas, saya berjuang. Inilah jawabannya: tidak setara dengan pertanyaan yang awalnya Anda tanyakan! Apa yang telah Anda lakukan adalah membawa waktu ke dalam analisis, dan itu berarti bahwa struktur probabilitas yang mendasarinya berubah menjadi jauh lebih rumit. Inilah yang perlu Anda ketahui. Ruang probabilitas terdiri dari tiga hal: ruang yang mendasari , seperti atau ; satu set semua hasil yang mungkin pada ruang ini, seperti set semua interval setengah terbuka di , dan ukuran yang memenuhi $(\Omega, A, \mu)$ $\Omega$ $\mathbb{R}$ $\mathbb{Z}$ $\mathbb{R}$ $\mu$ $\mu(\Omega) = 1$ . Masalah asli Anda tinggal di ruang mana adalah ukuran Lebesgue (ini berarti bahwa ). Dalam ruang ini, probabilitas bahwa Anda menekan titik tunggal adalah nol untuk alasan yang dibahas di atas --- Saya pikir kita sudah membersihkannya. Tetapi sekarang, ketika Anda mengatakan hal-hal seperti kutipan di atas, Anda mendefinisikan sesuatu yang disebut filtrasi , yang akan kami tulis sebagai . Filtrasi secara umum adalah kumpulan himpunan bagian yang memenuhi untuk semua $([a,b], \text{all half open intervals on $[a,b]$}, \nu)$ $\nu$ $\nu( [c,d) ) = \frac{1}{d - c}$ $x \in [a,b]$ $\mathcal{F} = \{\mathcal{F}_t\}_{t \geq 0}$ $A$ $\mathcal{F}_t \subseteq \mathcal{F}_s$ $t < s$ . Dalam kasus Anda, kami dapat mendefinisikan filtrasi Sekarang, di bagian baru dari ruang hasil Anda, coba tebak --- Anda benar! Anda telah memukulnya dan, setelah lemparan pertama Anda, peluang Anda untuk mencapai titik itu ketika dibatasi untuk filtrasi adalah 1.

F_{t} = {x \in [a, b] : dart hit x at time t^{'} < t} .

$\mathcal{F}_t = \{x \in [a,b]: \text{dart hit $x$ at time $t' < t$} \}.$ $\mathcal{F}_1$

Karena Anda menggunakan bahasa teknis, akan lebih baik menggunakan makna standar untuk istilah tersebut. Secara khusus, apa yang Anda sebut "hasil" biasanya disebut peristiwa (dasar) : hasilnya adalah unsur-unsur Rumus Anda untuk pengukuran Lebesgue (normal) salah: Saya menduga Anda bermaksud Pada tingkat yang lebih mendasar, tidak jelas mengapa Anda perlu meminta mesin proses stokastik untuk membahas pemodelan variabel acak waktu peristiwa tunggal, juga tidak jelas ini memberikan wawasan.

Ω .

$\Omega.$

ν ([c, d]) = (d - c) / (b - a) .

$\nu([c,d])=(d-c)/(b-a).$

— whuber