Diperlukan dan kondisi yang cukup pada MGF bersama untuk kemerdekaan

Misalkan saya memiliki fungsi menghasilkan momen bersama untuk distribusi bersama dengan CDF . Apakah keduanya merupakan kondisi yang diperlukan dan cukup untuk independensi dan ? Saya memeriksa beberapa buku teks, yang hanya menyebutkan keperluan: $M_{X,Y}(s,t)$ $F_{X,Y}(x,y)$ $M_{X,Y}(s,t)=M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)$ $X$ $Y$

F_{X, Y} (x, y) = F_{X} (x) \cdot F_{Y} (y) ⟹ M_{X, Y} (s, t) = M_{X} (s) \cdot M_{Y} (t)

$F_{X,Y}(x,y)=F_X(x)\cdot F_Y(y) \implies M_{X,Y}(s,t)=M_X(s) \cdot M_Y(t)$

Hasil itu jelas karena kemerdekaan menyiratkan . Karena MGF marginal ditentukan oleh MGF bersama, kami memiliki: $M_{X,Y}(s,t)=\mathbb{E}(e^{sX+tY})=\mathbb{E}(e^{sX}) \mathbb{E}(e^{tY})$

X, Y independent ⟹ M_{X, Y} (s, t) = M_{X, Y} (s, 0) \cdot M_{X, Y} (0, t)

$X,Y\text{ independent} \implies M_{X,Y}(s,t)=M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)$

Tetapi setelah mencari online saya hanya menemukan referensi singkat, tanpa bukti, ke sebaliknya . Apakah bukti sketsa berikut bisa digunakan?

Diberikan MGF , ini secara unik menentukan distribusi marginal dan dan mereka, dan . Marginal saja kompatibel dengan banyak distribusi bersama yang mungkin, dan secara unik menentukan distribusi bersama di mana dan independen, dengan CDF dan MGF: $M_{X,Y}(s,t)$ $X$ $Y$ $M_X(s)=M_{X,Y}(s,0)$ $M_Y(t)=M_{X,Y}(0,t)$ $X$ $Y$ $F_{X,Y}^{\text{ind}}(x,y)=F_X(x) \cdot F_Y(y)$

M_{X, Y}^{ind} (s, t) = M_{X} (s) \cdot M_{Y} (t) = M_{X, Y} (s, 0) \cdot M_{X, Y} (0, t)

$M_{X,Y}^{\text{ind}}(s,t) = M_X(s) \cdot M_Y(t) = M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)$

Jadi jika kita diberikan, untuk MGF asli kita, bahwa , ini adalah cukup untuk menunjukkan . Kemudian oleh keunikan MGF, distribusi gabungan asli kami memiliki dan dan bersifat independen. $M_{X,Y}(s,t) = M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)$ $M_{X,Y}(s,t) = M_{X,Y}^{\text{ind}}(s,t)$ $F_{X,Y}(x,y) = F_{X,Y}^{\text{ind}}(x,y) = F_X(x) \cdot F_Y(y)$ $X$ $Y$

— Gegat
sumber

Ya, itulah syarat yang diperlukan dan cukup untuk independensi tidak hanya untuk dua variabel acak tetapi juga untuk urutan variabel acak (terbatas). Lihat misalnya P.2 di halaman 242 dari Probabilitas dengan Aplikasi Statistik , Oleh Rinaldo B. Schinazi. Atau halaman 259 dari Analisis Ekonometrik Data Hitung yang didasarkan pada fungsi pembangkitan probabilitas. Perhatikan saja bahwa "fungsi penghasil momen tidak selalu ada".

— Stat
sumber

Terima kasih untuk referensi yang solid. Ya, berhati-hati untuk menyatakan bahwa MGF asli diberikan di awal dan mencoba untuk mengingat untuk menunjukkan bahwa MGF lain yang saya maksud ada sebagai konsekuensi sebelum saya melakukan sesuatu dengan itu! Strategi bukti apa yang digunakan dalam referensi Anda?

— Silverfish

Apakah Anda membaca paragraf tepat setelah P2 dalam referensi pertama saya?

— Stat

Ah ya - itu perpanjangan dari bukti yang saya sarankan untuk vektor. Bandingkan MGF dari distribusi yang diberikan dengan MGF adalah komponen independen; karena mereka sama dan MGF secara unik menentukan distribusi bersama, distribusi bersama adalah yang independen.

— Silverfish