Saya ingin menunjukkan

10

Mari $X:\Omega \to \mathbb N$ menjadi variabel acak pada probabilitas ruang $(\Omega,\mathcal B,P)$ .show bahwa

E (X) = \sum_{n = 1}^{\infty} P (X \geq n) .

$E(X)=\sum_{n=1}^\infty P(X\ge n).$

definisi saya dari $E(X)$ sama dengan

E (X) = \int_{Ω} X d P .

$E(X)=\int_\Omega X \, dP.$

Terima kasih.

probability self-study expected-value

— pual ambagher
sumber

Hmmm, mungkin Anda ingin menambahkan

X \geq 0

$X\geq 0$ ... tidak?

— Stat

@Stat: tidak,

.

itu alami. Anggap

selalu sama dengan 2.

.

P (X \geq 0) = 1

$P(X \ge 0) = 1$

X

$X$

X

$X$

E (X) = 2 = P (X \geq 1) + P (X \geq 2)

$E(X) = 2 = P(X\ge 1) + P(X\ge 2)$

— Januari

Ups, tidak melihat

!

N

$N$

— Stat

1

Pernyataan itu (sedikit) salah: karena

termasuk

, penjumlahan harus dimulai dari

bukannya

.

N

$\mathbb{N}$

0

$0$

0

$0$

1

$1$

— whuber

4

@whuber Tidak, jumlahnya harus dimulai dari

(coba kasusnya ketika

).

n = 1

$n=1$

P [X = 42] = 1

$P[X=42]=1$

— Apakah

12

Definisi $E(X)$ untuk diskrit $X$ adalah $E(X) = \sum_i x_i \cdot P(X = x_i)$ .

P (X \geq i) = P (X = i) + P (X = i + 1) + \dots

$P( X \ge i ) = P( X = i ) + P( X = i + 1 ) + \cdots$

Begitu

\begin{aligned} \sum_{i} P (X \geq i) = P (X \geq 1) + P (X \geq 2) + \dots \\ = & P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) + \dots + P (X = 2) + P (X = 3) + \dots \end{aligned}

$\begin{align} & \sum_i P( X \ge i ) = P( X \ge 1 ) + P( X \ge 2 ) + \cdots \\[8pt] = {} & P( X = 1 ) + P( X = 2 ) + P( X = 3 ) + \cdots + P(X = 2 ) + P( X = 3 ) + \cdots \end{align}$

(Kami rearange istilah dalam ekspresi terakhir)

\begin{aligned} = 1 \cdot P (X = 1) + 2 \cdot P (X = 2) + 3 \cdot P (X = 3) + \dots \\ = \sum_{i} i \cdot P (X = i) \end{aligned}

$\begin{align} & = 1 \cdot P( X = 1 ) + 2 \cdot P( X = 2 ) + 3 \cdot P( X = 3 ) + \cdots \\[8pt] & = \sum_i i \cdot P( X = i ) \end{align}$

qed

— Januari
sumber

4

Anda seharusnya memberikan petunjuk yang bermanfaat untuk tag belajar mandiri, bukan jawaban lengkap. Lebih baik tidak menyelesaikan tugas mereka :)

— Stat

1

Tidakkah Anda perlu menjelaskan mengapa Anda bisa memesan ulang jumlahnya? itu akan menjadi penting jika Anda mencari demonstrasi yang ketat.

— Manuel

X

$X$

X

$X$

1

X

$X$

1

$1$

N

$\mathbb{N}$

X

$X$

@ whuber. Saya setuju dan mendapatkannya. Terima kasih dari semuanya.

— pual ambagher

11

\begin{array}{rcl} \sum_{k = 1}^{\infty} P (X \geq k) & = & P (X \geq 1) = P (X = 1) & + & P (X = 2) & + & P (X = 3) & + & \dots \\ + & P (X \geq 2) & + & P (X = 2) & + & P (X = 3) & + & \dots \\ + & P (X \geq 3) & + & P (X = 3) & + & \dots \\ + & \dots & + & \dots \end{array}

$\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty P(X\geq k) &=& \quad P(X\geq 1) \quad=\quad P(X=1)&+&P(X=2)&+&P(X=3) &+& \;\dots\\ &+& \quad P(X\geq 2) &+& P(X=2) &+&P(X=3)&+& \;\dots \\ \\ &+& \quad P(X\geq 3) && &+& P(X=3)&+& \;\dots \\ \\ &+& \quad\quad\;\; \dots && &&&+& \;\dots\\ \end{eqnarray}$

— Zen
sumber

Apakah Anda menganggap X adalah diskrit?

— BCLC

P (X = 1 / 4) = P (X = 1 / 2) = 1 / 2

$P(X = 1/4) = P(X = 1/2) = 1/2$

3

Saya pikir cara standar untuk melakukan ini adalah dengan menulis

X = \sum_{n = 1}^{\infty} 1 (X \geq n)

$X =\sum_{n=1}^\infty \mathbf{1}(X\ge n)$

E (X) = E (\sum_{n = 1}^{\infty} 1 (X \geq n))

$E(X) =E\left(\sum_{n=1}^\infty \mathbf{1}(X\ge n)\right)$

dan kemudian membalikkan urutan harapan dan jumlah (oleh teorema Tonelli)

— seanv507
sumber

X

$X$

1

@BCLC Baris pertama hanya benar jika X adalah bilangan alami, jadi itu tidak benar ....

— seanv507

1

$X: \Omega \rightarrow \mathbb{N}$

X = \sum_{n = 1}^{max (X, m)} I (X ⩾ n) for all m \in N .

$X = \sum_{n=1}^{\max(X,m)} \mathbb{I}(X \geqslant n) \quad \quad \quad \text{for all } m \in \mathbb{N}.$

Mengambil kemudian memberikan hasil yang bermanfaat: $m \rightarrow \infty$

X = \sum_{n = 1}^{\infty} I (X ⩾ n) .

$X = \sum_{n=1}^{\infty} \mathbb{I}(X \geqslant n).$

Perlu dicatat bahwa hasil ini lebih kuat dari aturan ekspektasi dalam pertanyaan, karena memberikan dekomposisi untuk variabel acak yang mendasarinya, dan bukan hanya momennya. Seperti disebutkan dalam jawaban lain, dengan mengambil ekspektasi dari kedua sisi persamaan ini, dan menerapkan teorema Tonelli (untuk menukar urutan penjumlahan dan operator ekspektasi), memberikan aturan ekspektasi dalam pertanyaan. Ini adalah aturan ekspektasi standar yang digunakan ketika berhadapan dengan variabel acak non-negatif.

Hasil di atas dapat dibuktikan secara sederhana. Mulailah dengan mengamati bahwa:

X = \underset{X times}{\underset{⏟}{1 + 1 + \dots + 1}} + \underset{countable times}{\underset{⏟}{0 + 0 + \dots + 0}} .

$X = \underbrace{1+1+ \cdots +1}_{ X \text{ times}} + \underbrace{0+0+ \cdots +0}_{ \text{countable times}}.$

Karenanya untuk setiap kita memiliki: $m \in \mathbb{N}$

\begin{aligned} X & = \underset{X times}{\underset{⏟}{1 + 1 + \dots + 1}} + \underset{max (0, m - X) times}{\underset{⏟}{0 + 0 + \dots + 0}} \\ = \sum_{n = 1}^{X} I (X ⩾ n) + \sum_{n = 1}^{max (0, m - X)} I (X ⩾ X + n) \\ = \sum_{n = 1}^{X} I (X ⩾ n) + \sum_{n = X + 1}^{max (X, m)} I (X ⩾ n) \\ = \sum_{n = 1}^{max (X, m)} I (X ⩾ n) . \end{aligned} .

$\begin{equation} \begin{aligned} X &= \underbrace{1+1+ \cdots +1}_{ X \text{ times}} + \underbrace{0+0+ \cdots +0}_{ \max(0,m-X) \text{ times}} \\[6pt] &= \sum_{n=1}^X \mathbb{I}(X \geqslant n) + \sum_{n=1}^{\max(0,m-X)} \mathbb{I}(X \geqslant X+ n) \\[6pt] &= \sum_{n=1}^X \mathbb{I}(X \geqslant n) + \sum_{n=X+1}^{\max(X,m)} \mathbb{I}(X \geqslant n) \\[6pt] &= \sum_{n=1}^{\max(X,m)} \mathbb{I}(X \geqslant n) . \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}.$

— Ben - Pasang kembali Monica
sumber