Apa median distribusi t non-sentral?

10

Berapakah median distribusi t non-sentral dengan parameter non-sentralitas ? Ini mungkin pertanyaan yang sia-sia karena CDF tampaknya dinyatakan sebagai jumlah yang tak terbatas, dan saya tidak dapat menemukan informasi tentang fungsi CDF terbalik. $\delta \ne 0$

— shabbychef
sumber

11

Anda bisa memperkirakannya.

Sebagai contoh, saya membuat nonlinear berikut ini cocok untuk (derajat kebebasan) dari 1 hingga 20 dan (parameter noncentrality) dari 0 hingga 5 (dalam langkah 1/2). Membiarkan $\nu$ $\delta$

a (ν) = 0.963158 + \frac{0.051726}{ν - 0.705428} + 0.0112409 \log (ν),

$a(\nu) = 0.963158 + \frac{0.051726}{\nu-0.705428} + 0.0112409\log(\nu),$

b (ν) = - 0.0214885 + \frac{0.406419}{0.659586 + ν} + 0.00531844 \log (ν),

$b(\nu) = -0.0214885+\frac{0.406419}{0.659586 +\nu}+0.00531844 \log(\nu),$

dan

g (ν, δ) = δ + a (ν) \exp (b (ν) δ) - 1.

$g(\nu, \delta) = \delta + a(\nu) \exp(b(\nu) \delta) - 1.$

Kemudian memperkirakan median dalam 0,15 untuk , 0,03 untuk , .015 untuk , dan 0,007 untuk . $g$ $\nu=1$ $\nu=2$ $\nu=3$ $\nu = 4, 5, \ldots, 20$

Estimasi tersebut dilakukan dengan menghitung nilai dan untuk setiap nilai dari 1 hingga 20 dan kemudian secara terpisah memasang dan ke . Saya memeriksa plot dan untuk menentukan bentuk fungsional yang sesuai untuk fit ini. $a$ $b$ $\nu$ $a$ $b$ $\nu$ $a$ $b$

Anda dapat melakukannya dengan lebih baik dengan berfokus pada interval parameter yang menarik bagi Anda. Secara khusus, jika Anda tidak tertarik dengan nilai yang sangat kecil dari Anda dapat dengan mudah meningkatkan taksiran ini, kemungkinan dalam 0,005 secara konsisten. $\nu$

Berikut adalah plot median versus untuk , kasus tersulit, dan residu negatif (nilai tengah minus nilai perkiraan sebenarnya) versus : $\delta$ $\nu=1$ $\delta$

Median t non-sentral, delta dari 0 hingga 5, nu = 1

Residu median non-sentral, delta dari 0 hingga 5, nu = 1

Residunya benar-benar kecil dibandingkan dengan median.

BTW, untuk semua kecuali derajat kebebasan terkecil median dekat dengan parameter noncentrality. Berikut adalah grafik median, untuk dari 0 hingga 5 dan (diperlakukan sebagai parameter nyata) dari 1 hingga 20. $\delta$ $\nu$

Median t non-sentral versus nu dan delta (dalam pseudo 3D)

Untuk banyak tujuan menggunakan untuk memperkirakan median mungkin cukup baik. Berikut adalah plot kesalahan (relatif terhadap ) yang dibuat dengan mengasumsikan median sama dengan (untuk dari 2 hingga 20). $\delta$ $\delta$ $\delta$ $\nu$

(Median - delta) / delta versus delta dan nu

— whuber
sumber

3

+1, luar biasa. Bagaimana Anda menghasilkan bentuk fungsional untuk ?

g

$g$

— mpiktas

1

@mpiktas Kombinasi melihat rumus untuk CDF dan memplot median versus . Eksponensial, dengan dua parameter, sebenarnya cocok dengan polinomial kuadratik (dengan tiga parameter).

ν

$\nu$

— whuber

5

Jika Anda tertarik pada (derajat kebebasan) ν> 2, ekspresi asimtotik berikut ini [diturunkan dari pendekatan interpolatif ke quantile student-t quantile, DL Bartley, Ann. Occup. Hyg., Vol. 52, 2008] cukup akurat untuk banyak tujuan:

 Median[ t[δ,ν] ] ~ δ(1 + 1/(3ν)).

Dengan ν> 2, besarnya maksimum bias dari ekspresi di atas relatif terhadap median student-t noncentral adalah sekitar 2% dan jatuh dengan cepat dengan meningkatnya ν. Diagram kontur menunjukkan bias perkiraan asimptotik relatif terhadap median t-siswa noncentral:

— David Bartley
sumber