Bagaimana seseorang menunjukkan bahwa tidak ada estimator yang tidak bias dari

Misalkan $X_{0},X_{1},\ldots,X_{n}$ adalah variabel acak iid yang mengikuti distribusi Poisson dengan rata-rata $\lambda$ . Bagaimana saya bisa membuktikan bahwa tidak ada penaksir yang tidak bias dari kuantitas $\dfrac{1}{\lambda}$ ?

— billlee1231
sumber

Saya kira maksud Anda, "lambda?" Bagaimanapun, ini tidak sesuai untuk MO.

Apakah ini untuk beberapa subjek? Sepertinya latihan buku teks yang cukup standar. Silakan periksa self-studytag, dan info wiki tag -nya dan tambahkan tag (atau berikan indikasi bagaimana lagi pertanyaan seperti itu muncul). Perhatikan bahwa pertanyaan-pertanyaan semacam itu, meskipun disambut baik, menempatkan beberapa persyaratan pada Anda (dan pembatasan pada kami). Apa yang sudah kamu coba?

— Glen_b -Reinstate Monica

Anda harus dapat menggunakan argumen serupa dengan yang ada di sini .

— Glen_b -Reinstate Monica

Asumsikan bahwa adalah estimator berisi dari , yaitu, $g(X_0, \ldots, X_n)$ $1/\lambda$ Kemudian dikalikan dengan dan memanggil seri MacLaurin dari kita dapat menulis persamaan dengan

\sum_{(x_{0}, ..., x_{n}) \in N_{0}^{n + 1}} g (x_{0}, ..., x_{n}) \frac{λ^{\sum_{saya = 0}^{n} x_{saya}}}{\prod_{saya = 0}^{n} x_{saya}!} e^{- (n + 1) λ} = \frac{1}{λ}, \forall λ > 0.

$\sum_{(x_0, \ldots, x_n) \in \mathbb{N}_0^{n+1}} g(x_0, \ldots, x_n) \frac{\lambda^{\sum_{i=0}^n x_i}}{\prod_{i=0}^n x_i!} e^{-(n + 1) \lambda} = \frac{1}{\lambda}, \quad \forall \lambda > 0.$

λ e^{(n + 1) λ}

$\lambda e^{(n + 1) \lambda}$

e^{(n + 1) λ}

$e^{(n + 1) \lambda}$

mana kita memiliki persamaan dua seri kekuatan yang satu memiliki istilah konstan (sisi kanan) dan yang lainnya tidak: kontradiksi. Jadi tidak ada estimator yang tidak bias.

\sum_{(x_{0}, ..., x_{n}) \in N_{0}^{n + 1}} \frac{g (x_{0}, ..., x_{n})}{\prod_{saya = 0}^{n} x_{saya}!} λ^{1 + \sum_{saya = 0}^{n} x_{saya}} = 1 + (n + 1) λ + \frac{(n + 1)^{2} λ^{2}}{2} + ..., \forall λ > 0,

$\sum_{(x_0, \ldots, x_n) \in \mathbb{N}_0^{n+1}} \frac{g(x_0, \ldots, x_n)}{\prod_{i=0}^n x_i!} \lambda^{1 + \sum_{i=0}^n x_i} = 1 + (n + 1)\lambda + \frac{(n + 1)^2 \lambda^2}{2} + \ldots , \quad \forall \lambda > 0,$

— J. Virta
sumber