Dua efek utama negatif namun efek interaksi positif?

Saya memiliki dua efek utama, V1 dan V2. Efek V1 dan V2 pada variabel respon negatif. Namun, untuk beberapa alasan saya mendapatkan koefisien positif untuk istilah interaksi V1 * V2. Bagaimana saya bisa menafsirkan ini? apakah situasi seperti itu mungkin?

Pasti. Sebagai contoh sederhana, pertimbangkan percobaan di mana Anda menambahkan volume tertentu air panas (V1) dan dingin (V2) ke tangki ikan yang dimulai pada suhu yang benar. Variabel respons (V3) adalah jumlah ikan yang bertahan hidup setelah sehari. Secara intuitif, jika Anda hanya menambahkan air panas (V1 meningkat), banyak ikan akan mati (V3 turun). Jika Anda hanya menambahkan air dingin (V2 meningkat), banyak ikan akan mati (V3 turun). Tetapi jika Anda menambahkan air panas dan dingin (V1 dan V2 meningkat, maka V1 * V2 meningkat), ikan akan baik-baik saja (V3 tetap tinggi), sehingga interaksi harus menangkal dua efek utama dan menjadi positif.

Di bawah ini, saya membuat 18 titik data yang meniru situasi di atas dan cocok dengan regresi linier berganda dalam R dan termasuk hasilnya. Anda dapat melihat dua efek utama negatif dan interaksi positif di baris terakhir. Anda dapat membiarkan V1 = Liter air panas, V2 = Liter air dingin, dan V3 = Jumlah ikan hidup setelah satu hari.

   V1 V2  V3
1   0  0 100
2   0  1  90
3   1  0  89
4   1  1  99
5   2  0  79
6   0  2  80
7   2  1  91
8   1  2  92
9   2  2  99
10  3  3 100
11  2  3  88
12  3  2  91
13  0  3  70
14  3  0  69
15  3  3 100
16  4  0  61
17  0  4  60
18  4  2  82

A = matrix(c(0,0,100, 0,1,90, 1,0,89, 1,1,99, 2,0,79, 0,2,80, 2,1,91, 1,2,92, 
2,2,99, 3,3,100, 2,3,88, 3,2,91, 0,3,70, 3,0,69, 3,3,100, 4,0,61, 0,4,60, 
4,2, 82), byrow=T, ncol=3)

A = as.data.frame(A)

summary(lm(V3~V1+V2+V1:V2, data=A))


Coefficients:
(Intercept)           V1           V2        V1:V2  
    103.568      -10.853      -10.214        6.563  

Cara alternatif untuk melihat situasi pada contoh brilian @ underminer adalah dengan mencatat bahwa di bawah regresi kuadrat, nilai-nilai yang Anda paskan memenuhi "batasan korelasi"

Dimana $x_{ik}$adalah nilai dari variabel kth (independent / explanatory / predictor / etc) pada observasi ke-i. Perhatikan bahwa sisi kanan tidak tergantung pada variabel apa yang ada dalam model. Jadi jika "y" umumnya meningkat / berkurang dengan variabel kth maka nilai yang dipasang juga akan. Ini mudah untuk dilihat melalui beta ketika hanya ada efek utama, tetapi membingungkan ketika interaksi hadir.

Perhatikan bagaimana interaksi umumnya "merusak" interpretasi khas beta sebagai "efek pada respons dengan meningkatkan variabel tersebut oleh satu unit dengan semua variabel lain tetap konstan ". Ini adalah interpretasi yang tidak berguna ketika interaksi hadir seperti yang kita tahu bahwa memvariasikan variabel tunggal akan mengubah nilai untuk istilah interaksi serta efek utama. Dalam kasus paling sederhana yang diberikan oleh contoh Anda, Anda memiliki perubahan itu$V1$ dengan satu akan mengubah nilai yang dipasang oleh

Jelas hanya melihat $\beta_1$ tidak akan memberi Anda "efek" yang tepat dari $V1$ pada respon.