Saya tahu bahwa aljabar linier dan analisis (terutama teori ukuran) penting. Apakah bermanfaat untuk mengambil kursus tingkat pascasarjana dalam analisis nyata dan kompleks? Haruskah saya mengambil kursus dalam aljabar abstrak di luar kursus pengantar, misalnya, aljabar komutatif dan geometri aljabar?
Jawaban:
Menurut pendapat saya, beberapa opsi untuk menyelidiki di tingkat pascasarjana dapat berupa: analisis fungsional (kerangka kerja alami untuk formulasi statistik), proses stokastik, kontrol stokastik (analisis sekuensial adalah penghentian optimal), berbagai rasa PDE (banyak masalah probabilistik dirumuskan sebagai PDE parabola dan nonlinier). Hampir semua ini memerlukan analisis nyata pada tingkat sarjana. Jika Anda tertarik pada hal-hal teoritis, maka mengambil teori ukuran juga cukup penting sebagai prasyarat untuk perawatan penuh dari topik ini. Analisis kompleks akan memiliki beberapa kegunaan, tetapi kurang dari yang di atas; ada koneksi ke probabilitas (yaitu fungsi harmonik), tetapi bisa sangat tidak layak
Aljabar komutatif dan geometri aljabar tidak akan sangat berguna (satu koneksi yang dapat saya pikirkan adalah statistik aljabar, yang tidak diajarkan secara luas). Topik-topik ini juga akan sangat menantang tanpa latar belakang yang kuat dalam matematika.
Dapatkan analisis nyata, tetapi tidak dengan cara saya melihat orang melakukannya. Ketika kami mewawancarai matematika tingkat bawah, mereka tampaknya tidak menguasai alat analisis nyata, hal-hal sederhana seperti mengambil integral tidak terjangkau oleh sebagian besar dari mereka. Saya masih tidak mengerti mengapa. Jadi, saran saya: perhatikan aplikasi pertama dan terutama.
Juga mendapatkan kursus ODE dan PDE, dan analisis fungsional dan diferensial geometri. Aljabar dan tensor linier, tentu saja juga. Semua dengan fokus pada aplikasi.
Berkenaan dengan aljabar komutatif dan geometri aljabar, subjek yang paling tidak dibahas dalam jawaban lain, kesan saya adalah bahwa selama Anda menghindari statistik aljabar, Anda dapat memperoleh seluruhnya tanpa mereka. Menghindari statistik aljabar mungkin lebih dan lebih sulit di masa depan, karena memiliki banyak aplikasi dan persimpangan dengan pembelajaran mesin / statistik, yang sangat menonjol dalam penelitian saat ini, serta aplikasi di bidang lain. Aljabar komutatif dan geometri aljabar adalah mata pelajaran yang paling ingin Anda pelajari untuk statistik aljabar, lihat misalnya jawaban untuk pertanyaan ini: Aljabar Geometri untuk Statistik
Sebaliknya, semua subbidang statistik menggunakan analisis. (Meskipun demikian, tidak terlalu banyak analisis yang rumit, meskipun itu mungkin berguna untuk memahami fungsi-fungsi karakteristik, suatu hal yang tampaknya belum dikemukakan.) Saya pikir teori ukuran tingkat sarjana mungkin cukup, karena saya telah bertemu ahli statistik profesional (misalnya profesor di departemen atas) yang memandang rendah teori ukuran, tetapi jika Anda benar-benar ingin memahami teori ukuran, kursus tingkat pascasarjana dalam analisis nyata sangat membantu. Teori ukuran sarjana cenderung berfokus secara eksklusif pada ukuran Lebesgue pada garis nyata, yang memiliki banyak sifat bagus yang mungkin tidak perlu dimiliki ukuran umum, dan terlebih lagi merupakan ukuran tak terbatas. Sebaliknya, kursus analisis nyata tingkat pascasarjana akan cenderung lebih menekankan pada tindakan abstrak, yang membuat langkah-langkah probabilitas secara umum lebih mudah untuk dipahami, dan juga membuat hubungan lebih jelas antara pengukuran probabilitas kontinu dan diskrit - dengan kata lain, Anda akan dapat melihat kedua subjek bersatu dalam satu kerangka kerja di pikiran Anda untuk pertama kalinya. Demikian juga, orang mungkin membuktikan teorema ekstensi Kolmogorov dalam kursus semacam itu. Dan pemahaman tentang langkah-langkah abstrak sangat diperlukan untuk pemahaman yang ketat tentang proses stokastik dalam waktu terus menerus. Bahkan berguna untuk memahami proses stokastik dalam waktu diskrit, meskipun kurang penting daripada dalam kasus kontinu. Anda akan dapat melihat kedua subjek bersatu dalam satu kerangka kerja di pikiran Anda untuk pertama kalinya. Demikian juga, orang mungkin membuktikan teorema ekstensi Kolmogorov dalam kursus semacam itu. Dan pemahaman tentang langkah-langkah abstrak sangat diperlukan untuk pemahaman yang ketat tentang proses stokastik dalam waktu terus menerus. Bahkan berguna untuk memahami proses stokastik dalam waktu diskrit, meskipun kurang penting daripada dalam kasus kontinu. Anda akan dapat melihat kedua subjek bersatu dalam satu kerangka kerja di pikiran Anda untuk pertama kalinya. Demikian juga, orang mungkin membuktikan teorema ekstensi Kolmogorov dalam kursus semacam itu. Dan pemahaman tentang langkah-langkah abstrak sangat diperlukan untuk pemahaman yang ketat tentang proses stokastik dalam waktu terus menerus. Bahkan berguna untuk memahami proses stokastik dalam waktu diskrit, meskipun kurang penting daripada dalam kasus kontinu.