Apakah Cox Regression memiliki distribusi Poisson yang mendasarinya?

Tim kecil kami sedang berdiskusi dan macet. Adakah yang tahu apakah regresi Cox memiliki distribusi Poisson yang mendasarinya? Kami memiliki perdebatan bahwa mungkin regresi Cox dengan waktu yang konstan pada risiko akan memiliki kesamaan dengan regresi Poisson dengan varian yang kuat. Ada ide?

Ya, ada hubungan antara dua model regresi ini. Berikut ini ilustrasi:

Misalkan bahaya garis dasar konstan dari waktu ke waktu: . Dalam hal ini, fungsi bertahan hidup adalah$h_{0}(t) = \lambda$

$S(t) = \exp\left(-\int_{0}^{t} \lambda du\right) = \exp(-\lambda t)$

dan fungsi kerapatan adalah

$f(t) = h(t) S(t) = \lambda \exp(-\lambda t)$

Ini adalah pdf dari variabel acak eksponensial dengan ekspektasi .$\lambda^{-1}$

Konfigurasi seperti ini menghasilkan model Cox parametrik berikut (dengan notasi yang jelas):

$h_{i}(t) = \lambda \exp(x'_{i} \beta)$

Dalam pengaturan parametrik parameter diestimasi menggunakan metode kemungkinan klasik. Log-kemungkinan diberikan oleh

$l = \sum_{i} \left\{ d_{i}\log(h_{i}(t_{i})) - t_{i} h_{i}(t_{i}) \right\}$

di mana adalah indikator acara.$d_{i}$

Hingga konstanta aditif, ini hanyalah ekspresi yang sama dengan kemungkinan log dari dilihat sebagai realisasi variabel Poisson dengan mean .$d_{i}$$\mu_{i} = t_{i}h_{i}(t)$

Sebagai akibatnya, seseorang dapat memperoleh estimasi menggunakan model Poisson berikut:

$\log(\mu_{i}) = \log(t_{i}) + \beta_0 + x_{i}'\beta$

di mana .$\beta_0 = \log(\lambda)$