Berapa probabilitas bahwa distribusi normal dengan varians tak terbatas memiliki nilai lebih besar dari rata-rata?

13

Saya ditanya sesuatu yang mirip dengan ini dalam wawancara hari ini.

Pewawancara ingin tahu berapa probabilitas bahwa opsi at-the-money akan berakhir di-the-money ketika volatilitas cenderung tak terbatas.

Saya katakan 0% karena distribusi normal yang mendasari model Black-Scholes dan hipotesis jalan acak akan memiliki varian yang tak terbatas. Jadi saya pikir probabilitas semua nilai akan menjadi nol.

Pewawancara saya mengatakan jawaban yang tepat adalah 50% karena distribusi normal akan tetap simetris dan hampir seragam. Jadi, ketika Anda mengintegrasikan dari mean ke + infinity Anda mendapatkan 50%.

Saya masih belum yakin dengan alasannya.

Siapa yang benar?

normal-distribution variance

— louzer
sumber

Sebenarnya ada (lemah) batas distribusi normal karena varians meningkat hingga tak terbatas. Ini melibatkan infinitesimal 1 / Aleph (0) terlarang. Anda dapat membaca artikel saya tentang sangat kecil di Research Gate atau di Academia. Ketik "H. Tomasz Grzybowski" di Google, buka halaman Gerbang Penelitian dengan artikel saya, klik "Kontribusi" dan temukan.

— H. Tomasz Grzybowski

1

Selamat datang di situs kami, @ H.TomaszGrzybowski. Saya telah mengonversi pos Anda ke komentar karena saya tahu Anda belum memperoleh reputasi untuk membuat komentar, tetapi itu tidak benar-benar menjawab pertanyaan dan karena itu tidak dapat tetap sebagai jawaban. Akan menarik untuk membaca solusi untuk masalah ini yang didasarkan pada ide Anda sangat kecil dan batas yang lemah. Apakah Anda masih tiba di nilai

atau Anda menemukan nilai tidak terdefinisi?

1 / 2

$1/2$

— Whuber

13

Tidak ada bentuk penalaran yang ketat secara matematis - tidak ada yang namanya distribusi normal dengan varian tak terbatas, juga tidak ada distribusi terbatas ketika varians tumbuh besar - jadi mari kita sedikit berhati-hati.

$t \to \infty$ $t$ $0$ $0$ $1/2$ $t \gt 0$ $1/2$

— whuber
sumber

6

+1 Singkatnya, penalaran fisik: dua kemungkinan hasil, simetris sempurna, dan probabilitas semua kemungkinan hasil harus berjumlah hingga 1 - satu-satunya jawaban bisa 1/2 (-;

7

$X_1, X_2,\ldots, X_n$ $\mu$ $\sigma_n$

$\lim_{n\to\infty} P(X_n>\mu)$ $\sigma_n\to \infty$

$\lim_{n\to\infty} P(X_n>\mu)=\frac{1}{2}$ $\sigma_n$

Secara intuitif, alih-alih menyusun distribusi normal varian tak terhingga, Anda harus membayangkan distribusi varian terbatas dan bekerja dengan batas-batasnya.

— Bravo
sumber

-2

Anda harus melakukan analisis berdasarkan distribusi log normal, bukan yang normal. Anda pewawancara salah ketika ia menyatakan bahwa distribusinya simetris. Tidak akan pernah, terlepas dari variansnya. Anda juga perlu membedakan antara volatilitas dan apa yang Anda sebut varians tak terbatas. Harga saham, misalnya, tidak memiliki batas atas, sehingga memiliki "varian tak terbatas".

— Ralph Winters
sumber

2

Benar bahwa distribusi lognormal terlibat, tetapi tidak perlu memanggilnya, seperti yang ditunjukkan oleh balasan saya. Yang mendasari distribusi normal adalah simetris tentu saja. Fakta bahwa harga saham (atau apa pun) tidak memiliki batas atas tidak menyiratkan distribusinya memiliki varian yang tak terbatas. Dalam teori Black-Scholes, omong-omong, volatilitas memang merupakan parameter varians (untuk distribusi logaritma).

— whuber

kami mempertimbangkan opsi, bukan stok.

— Wok

@wok Benar, tetapi teorinya tergantung pada distribusi harga aset (saham). Distribusi nilai opsi tidak normal atau lognormal.

— whuber