Interpretasi geometris dari estimasi kemungkinan maksimum

Saya membaca buku The Identification Problem In Econometrics karya Franklin M. Fisher, dan saya bingung dengan bagian mana dia menunjukkan identifikasi dengan memvisualisasikan fungsi kemungkinan.

Masalahnya dapat disederhanakan sebagai:

Untuk regresi , di mana , dan adalah parameter. Misalkan memiliki koefisien yang sama dengan kesatuan. Maka fungsi kemungkinan dalam ruang akan memiliki punggungan sepanjang sinar yang sesuai dengan vektor parameter benar dan kelipatan skalar-nya . Ketika hanya mempertimbangkan tempat yang diberikan oleh , fungsi likelihood akan memiliki maksimum unik pada titik di mana sinar memotong bidang itu.$Y=a+Xb+u$$u \sim i.i.d. N(0,\sigma^2I)$$a$$b$$Y$$c$$c, a,b$$c=1$

Pertanyaan saya adalah:

1. Bagaimana seharusnya orang memahami dan beralasan tentang punggungan dan sinar yang disebutkan dalam demonstrasi.
2. Karena sinar adalah parameter benar dan skalar, mengapa sinar tidak pada bidang yang diberikan oleh karena nilai sebenarnya dari parameter adalah 1.$c=1$$c$

Di luar konteks, bagian ini agak kabur tetapi di sini adalah bagaimana saya menafsirkannya.

Misalkan saya ingin melakukan regresi linier pada . Saya akan menulis mana . Jika adalah parameter true maka jelas adalah parameter sebenarnya dari .$cY$$cY = a' +Xb' + u$$u \sim N(0, c^2 \sigma^2)$$Y=a_0+Xb_0$$cY = c a_0 + Xcb_0$$cY$

Untuk fixed , fungsi likelihood untuk regresi ini pada memiliki maksimum unik pada titik dan . Dengan demikian, untuk umum sinar skalar mengalikan parameter sebenarnya membentuk punggungan fungsi kemungkinan sebagai fungsi dari tiga variabel. Sekarang ambil untuk memotong dengan bidang .$c$$cY$$a'=ca_0$$b' = cb_0$$c$$c=1$$c=1$