Apakah distribusi dengan momen yang sama identik atau tidak

Berikut ini mirip tetapi berbeda dari posting sebelumnya di sini dan di sini

1. Dengan dua distribusi yang menerima momen dari semua pesanan, jika semua momen dari dua distribusi adalah sama, lalu apakah mereka distribusi yang identik?
2. Dengan dua distribusi yang mengakui fungsi-fungsi pembangkit momen, jika mereka memiliki momen yang sama, apakah fungsi-fungsi pembangkit momen mereka sama?

Biarkan saya menjawab dengan urutan terbalik:

2. Ya. Jika MGF mereka ada, mereka akan sama *.

lihat di sini dan di sini misalnya

Memang itu mengikuti dari hasil yang Anda berikan di pos ini berasal; jika MGF secara unik ** menentukan distribusi, dan dua distribusi memiliki MGF dan mereka memiliki distribusi yang sama, mereka harus memiliki MGF yang sama (jika tidak, Anda akan memiliki sampel tandingan untuk 'MGF secara unik menentukan distribusi').

* untuk nilai-nilai tertentu 'sama', karena frasa 'hampir di mana-mana'

** ' hampir di mana - mana '

1. Tidak - karena contoh tandingan ada.

Kendall dan Stuart mendaftar keluarga distribusi berkelanjutan (mungkin awalnya karena Stieltjes atau seseorang dari vintage itu, tetapi ingatan saya tidak jelas, sudah beberapa dekade) yang memiliki urutan momen yang identik namun berbeda.

Buku karya Romano dan Siegel (Counterexamples dalam Probabilitas dan Statistik) mencantumkan counterexamples dalam bagian 3.14 dan 3.15 (halaman 48-49). (Sebenarnya, melihat mereka, saya pikir keduanya ada di Kendall dan Stuart.)

Romano, JP dan Siegel, AF (1986),
Contoh tandingan dalam Probabilitas dan Statistik.
Boca Raton: Chapman and Hall / CRC.

Untuk 3,15 mereka memberi kredit Feller, 1971, p227

Contoh kedua itu melibatkan keluarga kepadatan

Kepadatan berbeda sebagai $\alpha$ berubah, tetapi urutan momennya sama.

Bahwa urutan momennya sama melibatkan pemisahan $f$ ke dalam bagian-bagian

$\frac{1}{24}\exp(-x^{1/4}) -\alpha \frac{1}{24}\exp(-x^{1/4})\sin(x^{1/4})$

dan kemudian menunjukkan bahwa bagian kedua berkontribusi 0 untuk setiap momen, sehingga semuanya sama dengan momen pada bagian pertama.

Di sini terlihat seperti dua kepadatan. Yang biru adalah kasus di batas kiri ($\alpha=0$), hijau adalah kasusnya $\alpha=0.5$. Grafik sisi kanan adalah sama tetapi dengan skala log-log pada sumbu.

Lebih baik lagi, mungkin, untuk mengambil kisaran yang jauh lebih besar dan menggunakan skala akar keempat pada sumbu x, membuat kurva biru lurus, dan yang hijau bergerak seperti kurva dosa di atas dan di bawahnya, sesuatu seperti:

Goyangan di atas dan di bawah kurva biru - baik yang lebih besar atau lebih kecil - berubah sehingga semua momen bilangan bulat positif tidak berubah.

Perhatikan bahwa ini juga berarti kita bisa mendapatkan distribusi semua momen ganjilnya nol, tetapi asimetris, dengan memilih$X_1,X_2$ dengan berbeda $\alpha$ dan mengambil campuran 50-50 dari $X_1$, dan $-X_2$. Hasilnya harus membatalkan semua momen aneh, tetapi dua bagian tidak sama.