Mengapa ( disensor)

Dalam satu set masalah saya membuktikan "lemma" ini, yang hasilnya tidak intuitif bagi saya. adalah distribusi normal standar dalam model yang disensor. $Z$

Secara formal, , dan . Kemudian, Jadi ada semacam koneksi antara rumus ekspektasi pada domain terpotong dan kepadatan pada titik pemotongan . Adakah yang bisa menjelaskan intuisi di balik ini? $Z^* \sim Norm(0, \sigma^2)$ $Z = max(Z^*, c)$

\begin{aligned} E [Z | Z > c] & = \int_{c}^{\infty} z_{i} ϕ (z_{i}) d z_{i} \\ = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{c}^{\infty} z_{i} \exp (\frac{- 1}{2} z_{i}^{2}) d z_{i} \\ = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \exp (\frac{- 1}{2} c^{2}) (Integration by substitution) \\ = ϕ (c) \end{aligned}

$\begin{align} E[Z|Z>c] &= \int_c^\infty z_i \phi({z_i})\mathrm{d}z_i \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_c^\infty z_i \exp\!\bigg(\frac{-1}{2}z_i^2\bigg)\mathrm{d}z_i \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\!\bigg(\frac{-1}{2}c^2\bigg) \quad\quad\quad\quad\text{ (Integration by substitution)}\\ &= \phi(c) \end{align}$

(c)

$(c)$

normal-distribution pdf intuition

— Heisenberg
sumber

Bahwa ternyata demikian adalah konsekuensi dari fakta bahwa suku adalah negatif dari turunan dari suku dalam eksponen; itu salah satu dari banyak hasil rapi untuk standar normal tetapi tidak harus memiliki intuisi di belakangnya. Di sisi lain, itu tidak akan mengejutkan saya sama sekali jika salah satu dari orang-orang pintar di sini bisa menghasilkan semacam intuisi untuk itu.

z

$z$

— Glen_b -Reinstate Monica

@Glen_b Apa yang Anda katakan adalah bahwa mana adalah PDF dari setiap distribusi kontinu

\int_{c}^{\infty} (- \frac{d}{d z} \log (f (z))) f (z) d z = - \int_{c}^{\infty} f^{'} (z) d z = f (c)

$\int_c^\infty \left(-\frac{d}{dz}\log(f(z))\right) f(z) dz = -\int_c^\infty f^\prime(z)dz = f(c)$

f

$f$

F .

$F.$

— whuber

@whuber Itu memang benar, dan perlu menekankan hasil itu, karena langsung relevan dengan hasil dalam pertanyaan, tetapi sebenarnya dalam komentar saya, saya merujuk secara khusus pada kasus di mana istilah pertama adalah (karena istilah " rumus harapan "ada dalam pertanyaan, saya menganggapnya tentang , yang khusus untuk normal.

z

$z$

E (Z | Z > c)

$E(Z|Z>c)$

— Glen_b -Reinstate Monica

(setidaknya hingga konstanta multiplikasi yang jelas, tentang ekspektasi bersyarat itu). Namun, untuk tertentu mungkin layak dibahas dalam jawaban.

E (g (Z) | Z > c)

$E(g(Z)|Z>c)$

g = - \frac{d}{d z} l o g f

$g=-\frac{d}{dz}log f$

— Glen_b -Reinstate Monica

Hasil edit terakhir Anda meminta bukti (atau penjelasan intuitif) dari pernyataan yang salah. The bersyarat kepadatan dikondisikan pada adalah dan kondisional nilai yang diharapkan dengan demikian dan bukan apa yang Anda miliki dalam judul revisi Anda.

Z \sim N (0, 1)

$Z \sim N(0,1)$

Z > c

$Z > c$

\frac{ϕ (z)}{1 - Φ (c)} 1_{{z : z > c}}

$\frac{\phi(z)}{1-\Phi(c)}\mathbf 1_{\{z\colon z > c\}}$

E [Z ∣ Z > c] = \int_{c}^{\infty} z \frac{ϕ (z)}{1 - Φ (c)} d z = \frac{1}{1 - Φ (c)} \int_{c}^{\infty} z ϕ (z) d z

$E[Z\mid Z > c] = \int_c^{\infty}z\frac{\phi(z)}{1-\Phi(c)}\,\mathrm dz = \frac{1}{1-\Phi(c)}\int_c^{\infty}z\phi(z)\,\mathrm dz$

— Dilip Sarwate

Akankah Teorema Dasar Kalkulus bekerja untuk Anda sebagai intuisi?

Biarkan menunjukkan fungsi kerapatan dari variabel acak normal standar. Kemudian, turunannya adalah . Teorema Dasar Kalkulus kemudian memberi kita bahwa mana integral kedua diperoleh dengan mengganti dan menggunakan fakta bahwa dan yang ketiga setelah mencatat itu . Atau, tulis integral kedua sebagai integral dari ke $\phi(x)$ $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$ $\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\phi(x) = -x\phi(x)$

ϕ (x) = \int_{- \infty}^{x} - t ϕ (t) d t = \int_{- x}^{\infty} u ϕ (u) d u = \int_{x}^{\infty} u ϕ (u) d u

$\phi(x) = \int_{-\infty}^x -t\phi(t)\,\mathrm dt = \int_{-x}^\infty u\phi(u)\,\mathrm du = \int_x^\infty u\phi(u)\,\mathrm du$

u = - t

$u = -t$

ϕ (- u) = ϕ (u)

$\phi(-u) = \phi(u)$

ϕ (- x) = ϕ (x)

$\phi(-x) = \phi(x)$

- x

$-x$

+ x

$+x$ ditambah integral dari hingga , dan perhatikan bahwa mengintegrasikan fungsi aneh dari ke menghasilkan .

+ x

$+x$

\infty

$\infty$

- x

$-x$

+ x

$+x$

0

$0$

— Dilip Sarwate
sumber