Rumus estimator regresi kuantitatif

Saya telah melihat dua representasi yang berbeda dari penduga regresi regresi yang

Q (β_{q}) = \sum_{saya : y_{saya} \geq x_{saya}^{'} β}^{n} q ∣ y_{saya} - x_{saya}^{'} β_{q} ∣ + \sum_{saya : y_{saya} < x_{saya}^{'} β}^{n} (1 - q) ∣ y_{saya} - x_{saya}^{'} β_{q} ∣

$Q(\beta_{q}) = \sum^{n}_{i:y_{i}\geq x'_{i}\beta} q\mid y_i - x'_i \beta_q \mid + \sum^{n}_{i:y_{i}< x'_{i}\beta} (1-q)\mid y_i - x'_i \beta_q \mid$

dan

Q (β_{q}) = \sum_{saya = 1}^{n} ρ_{q} (y_{saya} - x_{saya}^{'} β_{q}), ρ_{q} (kamu) = {kamu}_{saya} (q - 1 ({kamu}_{saya} < 0))

$Q(\beta_q) = \sum^{n}_{i=1} \rho_q (y_i - x'_i \beta_q), \hspace{1cm} \rho_q(u) = u_i(q - 1(u_i < 0 ))$

di mana . Adakah yang bisa memberi tahu saya cara menunjukkan kesetaraan dari kedua ungkapan ini? Inilah yang saya coba sejauh ini, mulai dari ekspresi kedua. $u_i = y_i - x'_i \beta_q$

\begin{aligned} Q (β_{q}) & = \sum_{saya = 1}^{n} {kamu}_{saya} (q - 1 ({kamu}_{saya} < 0)) (y_{saya} - x_{saya}^{'} β_{q}) \\ = \sum_{saya = 1}^{n} (y_{saya} - x_{saya}^{'} β_{q}) (q - 1 (y_{saya} - x_{saya}^{'} β_{q} < 0)) (y_{saya} - x_{saya}^{'} β_{q}) \\ = [\sum_{saya : y_{saya} \geq x_{saya}^{'} β}^{n} (q (y_{saya} - x_{saya}^{'} β_{q})) + \sum_{saya : y_{saya} < x_{saya}^{'} β}^{n} (q (y_{saya} - x_{saya}^{'} β_{q}) - (y_{saya} - x_{saya}^{'} β_{q}))] (y_{saya} - x_{saya}^{'} β_{q}) \end{aligned}

$\begin{align} Q(\beta_q) &= \sum^{n}_{i=1} u_i(q - 1(u_i < 0 )) (y_i - x'_i \beta_q) \newline &= \sum^{n}_{i=1}(y_i - x'_i \beta_q)(q - 1(y_i - x'_i \beta_q < 0 )) (y_i - x'_i \beta_q) \newline &=\left[ \sum^{n}_{i:y_{i}\geq x'_{i}\beta}(q(y_i - x'_i\beta_q)) + \sum^{n}_{i:y_{i}< x'_{i}\beta}(q(y_i - x'_i\beta_q)-(y_i - x'_i\beta_q)) \right](y_i - x'_i\beta_q) \end{align}$ Tapi dari titik ini saya terjebak pada bagaimana untuk melanjutkan. Tolong jangan bahwa ini bukan pekerjaan rumah atau pertanyaan tugas. Terimakasih banyak.

proof quantile-regression equivalence

— AlexH
sumber

$\sum_i u_{i}^{2}$ $\sum_i \mid u_i \mid$ $q = .5$ $(1-q)$ $q$ $q$ $(1-q)$ $u_i$

\begin{aligned} ρ_{q} (kamu) & = 1 ({kamu}_{saya} > 0) q ∣ {kamu}_{saya} ∣ + 1 ({kamu}_{saya} \leq 0) (1 - q) ∣ {kamu}_{saya} ∣ \\ = 1 (y_{saya} - x_{saya}^{'} β_{q} > 0) q ∣ y_{saya} - x_{saya}^{'} β_{q} ∣ + 1 (y_{saya} - x_{saya}^{'} β_{q} \leq 0) (1 - q) ∣ y_{saya} - x_{saya}^{'} β_{q} ∣ \end{aligned}

$\begin{align} \rho_q(u) &= 1(u_i>0) \, q\mid u_i\mid + 1(u_i\leq 0) \, (1-q)\mid u_i \mid \newline &= 1(y_i - x'_i \beta_q > 0) \, q\mid y_i - x'_i \beta_q \mid + 1(y_i - x'_i\beta_q \leq 0) \, (1-q)\mid y_i - x'_i \beta_q \mid \end{align}$

u_{i} = y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}

$u_i = y_i - x'_i \beta_q$

\begin{aligned} = \sum_{saya : y_{saya} > x_{saya}^{'} β_{q}}^{n} q ∣ y_{saya} - x_{saya}^{'} β_{q} ∣ + \sum_{saya : y_{saya} \leq x_{saya}^{'} β_{q}}^{n} (1 - q) ∣ y_{saya} - x_{saya}^{'} β_{q} ∣ \\ = q \sum_{saya : y_{saya} > x_{saya}^{'} β_{q}}^{n} ∣ y_{saya} - x_{saya}^{'} β_{q} ∣ + (1 - q) \sum_{saya : y_{saya} \leq x_{saya}^{'} β_{q}}^{n} ∣ y_{saya} - x_{saya}^{'} β_{q} ∣ \\ = q \sum_{saya : y_{saya} > x_{saya}^{'} β_{q}}^{n} (y_{saya} - x_{saya}^{'} β_{q}) - (1 - q) \sum_{saya : y_{saya} \leq x_{saya}^{'} β_{q}}^{n} (y_{saya} - x_{saya}^{'} β_{q}) \\ = q \sum_{saya : y_{saya} > x_{saya}^{'} β_{q}}^{n} (y_{saya} - x_{saya}^{'} β_{q}) - \sum_{saya : y_{saya} \leq x_{saya}^{'} β_{q}}^{n} (y_{saya} - x_{saya}^{'} β_{q}) + q \sum_{saya : y_{saya} \leq x_{saya}^{'} β_{q}}^{n} (y_{saya} - x_{saya}^{'} β_{q}) \\ = q \sum_{saya = 1}^{n} (y_{saya} - x_{saya}^{'} β_{q}) - \sum_{saya = 1}^{n} 1 (y_{saya} - x_{saya}^{'} β_{q} \leq 0) (y_{saya} - x_{saya}^{'} β_{q}) \\ = \sum_{saya = 1}^{n} (q - 1 ({kamu}_{saya} \leq 0)) {kamu}_{saya} \end{aligned}

$\begin{align} &= \sum^{n}_{i:y_i>x'_i\beta_q}q\mid y_i - x'_i\beta_q \mid + \sum^{n}_{i:y_i\leq x'_i\beta_q} (1-q) \mid y_i - x'_i\beta_q \mid \newline &= q \sum^{n}_{i:y_i>x'_i\beta_q} \mid y_i - x'_i\beta_q \mid + (1-q)\sum^{n}_{i:y_i\leq x'_i\beta_q} \mid y_i - x'_i\beta_q \mid \newline &= q \sum^{n}_{i:y_i>x'_i\beta_q} (y_i - x'_i\beta_q) - (1-q)\sum^{n}_{i:y_i\leq x'_i\beta_q} ( y_i - x'_i\beta_q ) \newline &= q \sum^{n}_{i:y_i>x'_i\beta_q} (y_i - x'_i\beta_q) - \sum^{n}_{i:y_i\leq x'_i\beta_q} (y_i - x'_i\beta_q) + q \sum^{n}_{i:y_i\leq x'_i\beta_q} (y_i - x'_i\beta_q) \newline &= q \sum^{n}_{i=1} (y_i - x'_i \beta_q) - \sum^{n}_{i=1}1(y_i - x'_i\beta_q\leq 0)(y_i - x'_i\beta_q) \newline &= \sum^{n}_{i=1}(q - 1(u_i \leq 0))u_i \end{align}$

$y_i - x'_i\beta_q$ $y_i < x'_i\beta_q$ $(1-q)$

q \sum_{saya : y_{saya} > x_{saya}^{'} β_{q}}^{n} (y_{saya} - x_{saya}^{'} β_{q}) + q \sum_{saya : y_{saya} \leq x_{saya}^{'} β_{q}}^{n} (y_{saya} - x_{saya}^{'} β_{q}) = \sum_{saya = 1}^{n} (y_{saya} - x_{saya}^{'} β_{q})

$q\sum^{n}_{i:y_i>x'_i\beta_q}(y_i - x'_i\beta_q) + q\sum^{n}_{i:y_i \leq x'_i\beta_q}(y_i - x'_i\beta_q) = \sum^{n}_{i=1}(y_i - x'_i\beta_q)$

y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}

$y_i - x'_i\beta_q$

u_{i}

$u_i$

— Andy
sumber