Distribusi rasio variabel acak chi-square dependen

Asumsikan mana independen. $X = X_1 + X_2+\cdots+ X_n$ $X_i \sim N(0,\sigma^2)$

Pertanyaan saya adalah, apa distribusi tidak

Z = \frac{X^{2}}{X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \dots + X_{n}^{2}}

$Z = \frac{X^2}{X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2}$

mengikuti? Saya tahu dari sini bahwa rasio dua variabel acak chi-squared dinyatakan sebagai mengikuti distribusi Beta. Saya berpikir bahwa ini mengasumsikan independensi antara dan . Dalam kasus saya, penyebut berisi komponen kuadrat. $\frac{W}{W + Y}$ $W$ $Y$ $Z$ $X$

Saya pikir $Z$ juga harus mengikuti variasi distribusi Beta tetapi saya tidak yakin. Dan jika asumsi ini benar, saya tidak tahu bagaimana membuktikannya.

— x0dros
sumber

Karena distribusi penyebut tidak berubah di bawah rotasi, Anda dapat memutar

X

$X$ sama dengan

\sqrt{n} X_{1}

$\sqrt{n}X_1$ , yang mengurangi pertanyaan Anda menjadi sesuatu yang familier :-).

— whuber

Saya cukup yakin @whuber berarti persis apa yang diketik di sana. Ketika Anda mengatakan 'nominator', maksud Anda 'numerator'?

— Glen_b -Reinstate Monica

Ketika Anda memutar apa pun yang Anda (menurut definisi) mempertahankan panjangnya. Oleh karena itu varian dari setiap versi diputar harus sama dengan varian , yaitu : dari situlah istilah berasal.

X

$X$

X

$X$

1 + 1 + \dots + 1 = n

$1+1+\cdots+1=n$

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

— whuber

@whuber Jawaban Anda sepertinya memang sangat menarik, tetapi saya ragu. Ketika Anda mengatakan bahwa saya dapat memutar untuk menjadi sama dengan , ini pada dasarnya berarti bahwa saya dapat menulis ulang pembilang sebagai dan akibatnya, itu sendiri berubah menjadi . Sekarang, jika saya menganggap dan dan karena dan bersifat independen, saya dapat berasumsi bahwa memiliki

X

$X$

\sqrt{n} X_{1}

$\sqrt nX_1$

Z

$Z$

n X_{1}^{2}

$nX_1^2$

Z

$Z$

n \frac{X_{1}^{2}}{X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \dots + X_{n}^{2}}

$n\frac{X_1^2}{X_1^2+X_2^2+\cdots+X_n^2}$

W = X_{1}^{2}

$W=X_1^2$

Y = X_{2}^{2} + \dots + X_{n}^{2}

$Y=X_2^2+\cdots+X_n^2$

W

$W$

Y

$Y$

Z = n \frac{W}{W + Y}

$Z=n\frac{W}{W+Y}$

β

$\beta$ distribusi dan sebagainya. Apakah saya mengerti maksud Anda sekarang? Jadi, inilah kebingungan saya. Sebelum menggunakan konsep invarian rotasi dan modifyi

— ssah

@ssah Anda salah dalam menerapkan alasan saya: tanpa dalam penyebut, distribusinya tidak lagi berubah-ubah menjadi rotasi sembarang sehingga kesimpulan tidak lagi berlaku.

X_{1}^{2}

$X_1^2$

(X_{1}, \dots, X_{n}),

$(X_1,\ldots, X_n),$

— whuber

Posting ini menguraikan jawaban dalam komentar untuk pertanyaan.

Biarkan . Perbaiki dari panjang unit. Vektor semacam itu dapat selalu dilengkapi dengan basis ortonormal (misalnya melalui proses Gram-Schmidt ). Perubahan basis ini (dari yang biasa) adalah ortogonal: tidak mengubah panjang. Demikianlah distribusi $X = (X_1, X_2, \ldots, X_n)$ $\mathbf{e}_1\in\mathbb{R}^n$ $(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \ldots, \mathbf{e}_n)$

\frac{(e_{1} \cdot X)^{2}}{| | X | |^{2}} = \frac{(e_{1} \cdot X)^{2}}{X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \dots + X_{n}^{2}}

$\frac{(\mathbf{e}_1\cdot X)^2}{||X||^2}=\frac{(\mathbf{e}_1\cdot X)^2}{X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2}$

tidak bergantung pada . Mengambil menunjukkan ini memiliki distribusi yang sama dengan $\mathbf{e}_1$ $\mathbf{e}_1 = (1,0,0,\ldots, 0)$

\begin{matrix} (1) & \frac{X_{1}^{2}}{X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \dots + X_{n}^{2}} . \end{matrix}

$\frac{X_1^2}{X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2}.\tag{1}$

Karena adalah iid Normal, mereka dapat ditulis sebagai kali iid standar, variabel normal dan kuadratnya adalah kali distribusi . Karena jumlah distribusi independen adalah , kami telah menentukan bahwa distribusi adalah dari $X_i$ $\sigma$ $Y_1, \ldots, Y_n$ $\sigma^2$ $\Gamma(1/2)$ $n-1$ $\Gamma(1/2)$ $\Gamma((n-1)/2)$ $(1)$

\frac{σ^{2} U}{σ^{2} U + σ^{2} V} = \frac{U}{U + V}

$\frac{\sigma^2 U}{\sigma^2 U + \sigma^2 V} = \frac{U}{U+V}$

di mana dan independen. Hal ini juga diketahui bahwa rasio ini memiliki Beta distribusi. (Juga lihat utas terkait erat di Distribusi jika Beta dan chi-kuadrat dengan derajat .) $U = X_1^2/\sigma^2 \sim \Gamma(1/2)$ $V = (X_2^2 + \cdots + X_n^2)/\sigma^2 \sim \Gamma((n-1)/2)$ $(1/2, (n-1)/2)$ $XY$ $X \sim$ $(1,K-1)$ $Y \sim$ $2K$

Karena

X_{1} + \dots + X_{n} = (1, 1, \dots, 1) \cdot (X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}) = \sqrt{n} e_{1} \cdot X

$X_1 + \cdots + X_n = (1,1,\ldots,1)\cdot (X_1, X_2, \cdots, X_n) = \sqrt{n}\,\mathbf{e}_1\cdot X$

untuk vektor satuan , kami menyimpulkan bahwa adalah kali Beta variasi. Untuk karenanya memiliki fungsi kerapatan $\mathbf{e}_1=(1,1,\ldots,1)/\sqrt{n}$ $Z$ $(\sqrt{n})^2 = n$ $(1/2, (n-1)/2)$ $n\ge 2$

f_{Z} (z) = \frac{n^{1 - n / 2}}{B (\frac{1}{2}, \frac{n - 1}{2})} \sqrt{\frac{(n - z)^{n - 3}}{z}}

$f_Z(z) = \frac{n^{1-n/2}}{B\left(\frac{1}{2}, \frac{n-1}{2}\right)} \sqrt{\frac{(n-z)^{n-3}}{z}}$

pada interval (dan sebaliknya adalah nol). $(0,n)$

Sebagai cek, saya mensimulasikan realisasi independen untuk dan , histogram mereka, dan menempatkan grafik kepadatan Beta yang sesuai (berwarna merah). Perjanjian itu sangat bagus. $100,000$ $Z$ $\sigma=1$ $n=2,3,10$

Ini Rkodenya. Ini melakukan simulasi dengan menggunakan rumus sum(x)^2 / sum(x^2)untuk , di mana vektor panjang yang dihasilkan oleh . Sisanya hanya pengulangan ( , ) dan merencanakan ( , ). $Z$ xnrnormforapplyhistcurve

for (n in c(2, 3, 10)) {
  z <- apply(matrix(rnorm(n*1e5), nrow=n), 2, function(x) sum(x)^2 / sum(x^2))
  hist(z, freq=FALSE, breaks=seq(0, n, length.out=50), main=paste("n =", n), xlab="Z")
  curve(dbeta(x/n, 1/2, (n-1)/2)/n, add=TRUE, col="Red", lwd=2)
}

— whuber
sumber