Contoh CLT saat momen tidak ada

Pertimbangkan $X_n = \begin{cases} 1 & \text{w.p. } (1 - 2^{-n})/2\\ -1 & \text{w.p. } (1 - 2^{-n})/2\\ 2^k & \text{w.p. } 2^{-k} \text{ for } k > n\\ \end{cases}$

Saya perlu menunjukkan bahwa meskipun ini memiliki momen tak terbatas,

\sqrt{n} ({\bar{X}}_{n}) \overset{d}{\to} N (0, 1)

$\sqrt{n}(\bar{X}_n) \overset{d}{\to} N(0,1)$

Saya telah mencoba menunjukkan ini dengan menggunakan Teorema Kontinuitas Levy, yaitu, mencoba menunjukkan bahwa fungsi karakteristik sisi kiri menyatu dengan fungsi karakteristik standar normal. Namun, ini sepertinya tidak mungkin untuk ditunjukkan.

Petunjuk yang diberikan untuk masalah ini adalah memotong setiap , yaitu membiarkan dan menggunakan kondisi Lindeberg untuk menunjukkan bahwa . $X_i$ $Y_{ni} = X_i I\{X_i \leq n\}$ $\sqrt{n} \bar{Y}_n \overset{d}{\to} N(0,1)$

Namun, saya belum dapat menunjukkan bahwa kondisi Lyapunov puas. Ini terutama karena tidak berperilaku seperti yang saya inginkan. Saya ingin hanya mengambil nilai -1 dan 1, namun demikian, cara konstruksinya, ia dapat mengambil nilai $Y_{ni}$ $Y_{ni}$ $-1, 1, 2^{i+1}, 2^{i+2}, \dots, 2^{\lfloor\log_2 n\rfloor}$

— Greenparker
sumber

Jika Anda memotong pada , periksa paragraf terakhir dengan hati-hati untuk nilai variabel terpotong dapat mengambil. Bagaimanapun, cobalah memotong pada sebagai gantinya, gunakan Borel-Cantelli dan kemudian Slutsky untuk mendapatkan hasilnya. Anda harus dapat menggunakan Lindeberg atau Lyapunov pada potongan terpotong (meskipun saya tidak benar-benar memeriksa itu).

n

$n$

1

$1$

— kardinal

Maaf soal itu. Mengubahnya menjadi momen "tak terbatas"

— Greenparker

@ cardinal Saya membahas nilai-nilai yang bisa lagi, dan menambahkan satu lantai ke istilah log. Kalau tidak, nilainya tampak benar. Jika saya memotong pada 1, saya akan mendapatkan nilai yang saya inginkan untuk dan akan dapat menerapkan kondisi Lindeberg untuk mendapatkan konvergensi ke normal. Namun, saya tidak melihat bagaimana ini akan menyiratkan konvergensi menjadi normal untuk

Y_{n i}

$Y_{ni}$

Y_{n i}

$Y_{ni}$

\sqrt{n} {\bar{X}}_{n}

$\sqrt{n} \bar{X}_n$

— Greenparker

Apa itu " "? Anda belum menggambarkan konteks di mana ada sampel atau banyak contoh dari setiap , dari mana - mengingat apa yang dinyatakan dalam pertanyaan - tentang satu-satunya bacaan yang mungkin dari notasi ini adalah bahwa itu mengacu pada rata-rata , yang merupakan selalu tak terbatas dan merupakan angka, bukan distribusi. Karena itu kami harus membayangkan Anda sedang merenungkan sampel iid , tetapi Anda perlu memberi tahu kami hal ini dan Anda terutama perlu menentukan ukuran sampelnya.

{\bar{X}}_{n}

$\bar{X}_n$

X_{n}

$X_n$

X_{n}

$X_n$

X_{n}

$X_n$

— whuber

Berikut jawaban berdasarkan komentar @ cardinal:

Biarkan ruang sampel berupa jalur proses stokastik dan , di mana kita membiarkan . Kondisi Lindeberg (sesuai dengan notasi Wikipedia ) terpenuhi, untuk: untuk semua as setiap kali $(X_i)_{i=0}^{\infty}$ $(Y_i)_{i=0}^{\infty}$ $Y_i=X_i \mathbb{1}_{\{X_i\leq 1\}}$

\frac{1}{s_{n}^{2}} \sum_{i = 0}^{n} E (Y_{i}^{2} 1_{{| Y_{i} | > ϵ s_{n}^{2}}}) \leq \frac{1}{s_{n}^{2}} \sum_{i = 0}^{n} P (| Y_{i} | > ϵ s_{n}^{2}) \to 0,

$\frac{1}{s_n^2} \sum_{i=0}^n \mathbb E (Y_i^2 \mathbb{1}_{\{|Y_i|> \epsilon s_n^2\}})\leq \frac{1}{s_n^2} \sum_{i=0}^n P(|Y_i|> \epsilon s_n^2)\to0,$

ϵ

$\epsilon$

s_{n}^{2} \to \infty

$s_n^2\to \infty$

n \to \infty .

$n\to \infty.$

Kami juga memiliki oleh Borel-Cantelli karena sehingga . Dinyatakan secara berbeda, dan berbeda hanya dengan sering hampir pasti. $P(X_i\neq Y_i, i.o.) = 0$ $P(X_i \neq Y_i)=2^{-i}$ $\sum_{i=0}^{\infty} P(X_i \neq Y_i) = 2<\infty$ $X_i$ $Y_i$

Tentukan dan setara untuk . Pilih jalur sampel sehingga hanya untuk banyak . Buat indeks istilah ini dengan . Diperlukan juga dari jalur ini bahwa terbatas. Untuk jalur seperti itu, mana . Apalagi untuk cukup besar , $S_{X,n}=\sum_{i=0}^{n} X_i$ $S_{Y,n}$ $(X_i)_{i=1}^{\infty}$ $X_i > 1$ $i$ $\mathcal{J}$ $X_j,j\in \mathcal{J}$

\frac{S_{J}}{\sqrt{n}} \to 0, as n \to \infty

$\frac{S_{\mathcal{J}}}{\sqrt{n}} \to 0,\text{ as }n\to \infty$

S_{J} := \sum_{j \in J} X_{j}

$S_{\mathcal{J}}:=\sum_{j\in \mathcal{J}}X_j$

n

$n$

S_{X, n} - S_{Y, n} = S_{J} .

$S_{X,n}-S_{Y,n}=S_{\mathcal{J}}.$

Menggunakan hasil Borel-Cantelli bersama-sama dengan fakta bahwa hampir pasti terbatas, kita melihat bahwa kemungkinan jalur sampel mematuhi persyaratan kita adalah satu. Dengan kata lain, istilah yang berbeda hampir nol. Dengan demikian kita memiliki teorema Slutsky bahwa untuk cukup besar , mana . $X_i$ $n$

\frac{1}{\sqrt{n}} S_{X, n} = \frac{S_{Y, n} + S_{J}}{\sqrt{n}} \overset{d}{\to} ξ + 0,

$\frac{1}{\sqrt{n}}S_{X,n}=\frac{S_{Y,n}+S_{\mathcal{J}}}{\sqrt{n}}\overset{d}{\to}\xi+0,$

ξ \sim N (0, 1)

$\xi\sim N(0,1)$

— ekvall
sumber