Penjelasan intuitif tentang kontribusi terhadap jumlah dari dua variabel acak yang terdistribusi normal

Jika saya memiliki dua variabel acak bebas terdistribusi normal $X$ dan $Y$ dengan rata-rata $\mu_X$ dan $\mu_Y$ dan standar deviasi $\sigma_X$ dan $\sigma_Y$ dan saya menemukan bahwa $X+Y=c$ , maka (dengan asumsi saya tidak membuat kesalahan) distribusi kondisional dari $X$ dan $Y$ diberikan $c$ juga terdistribusi normal dengan sarana

μ_{X | c} = μ_{X} + (c - μ_{X} - μ_{Y}) \frac{σ_{X}^{2}}{σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2}}

$\mu_{X|c} = \mu_X + (c - \mu_X - \mu_Y)\frac{ \sigma_X^2}{\sigma_X^2+\sigma_Y^2}$

dan standar deviasi

μ_{Y | c} = μ_{Y} + (c - μ_{X} - μ_{Y}) \frac{σ_{Y}^{2}}{σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2}}

$\mu_{Y|c} = \mu_Y + (c - \mu_X - \mu_Y)\frac{ \sigma_Y^2}{\sigma_X^2+\sigma_Y^2}$

σ_{X | c} = σ_{Y | c} = \sqrt{\frac{σ_{X}^{2} σ_{Y}^{2}}{σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2}}} .

$\sigma_{X|c} = \sigma_{Y|c} = \sqrt{ \frac{\sigma_X^2 \sigma_Y^2}{\sigma_X^2 + \sigma_Y^2}}.$

Tidak mengherankan bahwa standar deviasi bersyarat sama dengan, mengingat , jika satu naik maka yang lain harus turun dengan jumlah yang sama. Sangat menarik bahwa standar deviasi bersyarat tidak tergantung pada . $c$ $c$

Apa yang saya tidak bisa mengerti adalah cara bersyarat, di mana mereka mengambil bagian dari kelebihan proporsional dengan varian asli, bukan dengan standar deviasi standar. $(c - \mu_X - \mu_Y)$

$\mu_X=\mu_Y=0$ $\sigma_X =3$ $\sigma_Y=1$ $c=4$ $E[X|c=4]=3.6$ $E[Y|c=4]=0.4$ $9:1$ $3:1$

Ini diprovokasi oleh pertanyaan Math.SE

normal-distribution conditional-probability

— Henry
sumber

$\mu_X = \mu_Y = 0$ $X-\mu_X$ $Y-\mu_Y$

$X$ $Y$ $g(x,y) = x+y = c$ $f(x,y) = x^2/(2\sigma_X^2) + y^2/(2\sigma_Y^2) = \rho$ $\rho$ $\lambda$

(\frac{x}{σ_{X}^{2}}, \frac{y}{σ_{Y}^{2}}) = \nabla f (x, y) = λ \nabla g (x, y) = λ (1, 1) .

$\left(\frac{x}{\sigma_X^2}, \frac{y}{\sigma_Y^2}\right) = \nabla f(x,y) = \lambda \nabla g(x,y) = \lambda(1,1).$

masukkan deskripsi gambar di sini

Segera menyusul bahwa mode distribusi bersyarat (dan karena itu juga sarana) ditentukan oleh rasio varian, bukan SD.

$X$ $Y$

— whuber
sumber

Itu sangat mengesankan, dan agak lebih lengkap daripada yang saya minta. Saya akan puas dengan diagram dan pernyataan bahwa garis singgung ke elips tidak melewati pusat elips, sehingga titik merah singgung harus mengambil lebih banyak secara tidak proporsional dari variabel acak dengan standar deviasi yang lebih tinggi.

— Henry

Itu tidak baik. Yang saya maksudkan adalah garis dari pusat ke titik merah tidak tegak lurus dengan garis singgung.

— Henry