Dapatkah distribusi multivariat dengan matriks kovarians singular memiliki fungsi kepadatan?

Misalkan distribusi multivariat melalui memiliki matriks kovarians tunggal. Bisakah kita menyimpulkan bahwa itu tidak memiliki fungsi kepadatan?$\mathbb R^n$

Sebagai contoh, ini adalah kasus untuk distribusi normal multivariat, tetapi saya tidak yakin apakah itu benar untuk semua distribusi multivariat lainnya.

Ini, saya kira, adalah pertanyaan tentang keberadaan turunan Radon-Nikodym yang menggunakan ukuran Lebesgue pada , tetapi teori probabilitas dasar juga mungkin memiliki jawabannya.$\mathbb R^n$

Matriks kovarian singular berarti ada kombinasi linear $Y = \sum_{i=1}^n a_i X_i$ dari $n$ variabel acak sedemikian rupa sehingga $E[Y] = a_0$ dan $\operatorname{var}(Y) = 0$. Dengan demikian, semua massa probabilitas terletak pada hyperplane$\mathbb R^n$ didefinisikan oleh $\sum_{i=1}^n a_i x_i = a_0$ dan begitu $n$ variabel acak tidak dapat memiliki a $n$Fungsi kepadatan -variate.

Ya, tetapi itu akan menjadi distribusi probabilitas pada subruang dimensi yang lebih rendah. Anda bisa berpendapat bahwa ini adalah distribusi probabilitas dalam R ^ N jika Anda mengizinkan hal-hal seperti fungsi dirac delta. Itu masalah matematika yang halus tetapi fisikawan, misalnya, melakukannya sepanjang waktu.

Meskipun ini disinggung di atas, saya ingin membuatnya lebih jelas bahwa sementara itu mungkin tidak memiliki kepadatan yang berarti $\mathbb{R}^{n}$ Anda dapat menentukan kepadatan pada Peringkat ($\Sigma$) ruang bagian -dimensi, di mana $\Sigma$ menunjukkan matriks kovarians.