Distribusi konvolusi variabel normal kuadrat dan chi-kuadrat?

masalah berikut muncul baru-baru ini saat menganalisis data. Jika variabel acak X mengikuti distribusi normal dan Y mengikuti distribusi $\chi^2_n$ (dengan n dof), bagaimana $Z = X^2 + Y^2$ didistribusikan? Hingga sekarang saya datang dengan pdf dari : $Y^2$

\begin{array}{rcl} ψ_{n}^{2} (x) & = & \frac{\partial F (\sqrt{x})}{\partial x} \\ = & {(\int_{0}^{\sqrt{x}} \frac{t^{n / 2 - 1} \cdot e^{- t / 2}}{2^{n / 2} Γ (n / 2)} d t)}_{x}^{'} \\ = & \frac{1}{2^{n / 2} Γ (n / 2)} \cdot {(\sqrt{x})}^{n / 2 - 1} \cdot e^{- \sqrt{x} / 2} \cdot {(\sqrt{x})}_{x}^{'} \\ = & \frac{1}{2^{n / 2 - 1} Γ (n / 2)} \cdot x^{n / 4 - 1} \cdot e^{- \sqrt{x} / 2} \end{array}

$\begin{eqnarray} \psi^2_n(x) &=& \frac{\partial F(\sqrt{x})}{\partial x} \\ &=& \left( \int_0^{\sqrt{x}} \frac{t^{n/2-1}\cdot e^{-t/2}}{2^{n/2}\Gamma(n/2)} \mathrm{d}t \right)^\prime_x \\ &=& \frac{1}{2^{n/2}\Gamma(n/2)} \cdot \left( \sqrt{x} \right)^{n/2-1} \cdot e^{-\sqrt{x}/2} \cdot \left( \sqrt{x} \right)^\prime_x \\ &=& \frac{1}{2^{n/2-1}\Gamma(n/2)} \cdot x^{n/4-1} \cdot e^{-\sqrt{x}/2} \end{eqnarray}$

serta beberapa penyederhanaan untuk integral konvolusi ( memiliki pdf dengan m dof): $X^2$ $\chi^2_m$

\begin{array}{rcl} K_{m n} (t) & := & (χ_{m}^{2} * ψ_{n}^{2}) (t) \\ = & \int_{0}^{t} χ_{m}^{2} (x) \cdot ψ_{n}^{2} (t - x) d x \\ = & {(2^{\frac{(n + m)}{2} + 1} Γ (\frac{m}{2}) Γ (\frac{n}{2}))}^{- 1} \cdot \int_{0}^{t} (t - x)^{\frac{n}{4} - 1} \cdot x^{\frac{m}{2} - 1} \cdot \exp (- (\sqrt{t - x} + x) / 2) d x \end{array}

$\begin{eqnarray} K_{mn}(t) &:=& ( \chi^2_m \ast \psi^2_n )(t) \\ &=& \int_0^t \chi^2_m(x) \cdot \psi^2_n(t-x) \mathrm{d}x \\ &=& \left( 2^{\frac{(n+m)}{2}+1} \Gamma(\frac{m}{2}) \Gamma(\frac{n}{2}) \right)^{-1} \cdot \int_0^t (t-x)^{\frac{n}{4}-1} \cdot x^{\frac{m}{2}-1} \cdot \exp(-(\sqrt{t-x}+x)/2) \mathrm{d}x \end{eqnarray}$

Apakah seseorang melihat cara yang baik untuk menghitung integral ini untuk t nyata atau apakah itu harus dihitung secara numerik? Atau apakah saya melewatkan solusi yang lebih sederhana?

— Leo Szilard
sumber

Jika

tidak dikuadratkan, saya akan memiliki beberapa saran khusus. Saya tidak berpikir yang satu ini akan traktable (juga tidak perlu mencerahkan bahkan jika itu terbukti traktat). Saya akan tergoda untuk melihat pendekatan komputasi, seperti konvolusi numerik atau simulasi, tergantung pada apa yang ingin Anda lakukan dengan hasilnya.

Y

$Y$

— Glen_b -Reinstate Monica

Sangat tidak mungkin menurut saya bahwa integral dapat dilakukan.

— Dave31415

@ Dave31415 Untuk

dan

genap, integral dapat secara eksplisit dihitung untuk nilai integral positif dari

dan

. Ini akan sama dengan kombinasi linear dari fungsi eksponensial dan kesalahan dengan koefisien polinomial dalam

n

$n$

m

$m$

n

$n$

m

$m$

. Evaluasi dapat dilakukan melalui substitusi

. Misalnya, dengan

kita memperoleh

\sqrt{t}

$\sqrt{t}$

x = t - u^{2}

$x=t-u^2$

n = 2, m = 4

$n=2,m=4$

\frac{1}{4} e^{- \frac{1}{8} (2 \sqrt{t} + 1)^{2}} (e^{\frac{\sqrt{t}}{2}} (\sqrt{2 π} (4 t + 3) (erfi (\frac{2 \sqrt{t} - 1}{2 \sqrt{2}}) + erfi (\frac{1}{2 \sqrt{2}})) + 4 e^{\frac{1}{8}}) - 4 e^{\frac{t}{2} + \frac{1}{8}} (2 \sqrt{t} + 1))

$\frac{1}{4}e^{-\frac{1}{8}(2\sqrt{t}+1)^2}(e^{\frac{\sqrt{t}}{2}}(\sqrt{2\pi} (4t+3)(\text{erfi}(\frac{2\sqrt{t}-1}{2\sqrt{2}})+\text{erfi}(\frac{1}{2\sqrt{2}}))+4e^\frac{1}{8})-4 e^{\frac{t}{2}+\frac{1}{8}}(2\sqrt{t}+1))$

— whuber

Bagus. Untuk angka ganjil, Anda mungkin dapat memperkirakannya dengan rata-rata hasil untuk membatasi angka genap? Atau mungkin tidak.

— Dave31415

Terima kasih atas balasan Anda! Untuk beberapa kasus genap, saya mendapatkan hasil yang serupa yang melibatkan fungsi Dawson, tetapi sepertinya saya harus melakukan lebih banyak pekerjaan untuk solusi umum ...

— Leo Szilard

Dalam kasus ini membantu, variabel adalah variabel acak gamma umum (lihat misalnya, Stacy 1962). Pertanyaan Anda menanyakan distribusi jumlah variabel acak chi-kuadrat dan variabel acak gamma umum. Sepengetahuan saya, kerapatan variabel yang dihasilkan tidak memiliki ekspresi bentuk tertutup. Oleh karena itu, konvolusi yang Anda peroleh adalah integral dengan solusi tanpa bentuk tertutup. Saya pikir Anda akan terjebak dengan solusi numerik untuk yang satu ini. $Y^2$

Stacy, EW (1962). Generalisasi Distribusi Gamma. Annals of Statistics Matematika 33 (3) , hlm. 1187-1192.

— Pasang kembali Monica
sumber

Ini hanya petunjuk. Pearson tipe III dapat dikuadratkan. Terkadang konvolusi dapat ditemukan dengan menggabungkan sesuatu dengan dirinya sendiri. Saya berhasil melakukan ini untuk menggabungkan ND dan GD , yang mana saya menggabungkan Pearson III dengan dirinya sendiri. Bagaimana ini bekerja dengan ND dan Chi-Squared, saya tidak yakin. Tapi, Anda meminta petunjuk, dan ini adalah petunjuk umum. Saya harap itu cukup untuk memulai. $^2$

— Carl
sumber

Bisakah Anda menjelaskan bagaimana ini menjawab pertanyaan? Tampaknya tidak berhubungan langsung.

— Whuber

Konvolusi Pearson tipe III dengan dirinya sendiri dapat dilakukan. Untuk beberapa alasan, menggabungkan satu hal dengan dirinya sendiri lebih mudah untuk diselesaikan daripada menggabungkan satu hal dengan yang lain. Sebagai contoh, saya memecahkan konvolusi Pearson tipe III dan mendapatkan konvolusi ND dengan GD, masalah terkait.

— Carl

Tampaknya tidak membantu, akan segera dihapus.

— Carl