Apa fungsi autokorelasi dari deret waktu yang muncul dari perhitungan deviasi standar bergerak?

Katakanlah saya memiliki deret waktu pengamatan dan saya menghitung ukuran varians deret waktu itu sebagai standar deviasi (SD) di jendela putar lebar dan jendela itu dipindahkan dalam langkah waktu tunggal atas rangkaian. Asumsikan lebih lanjut bahwa , di mana adalah jumlah pengamatan, dan bahwa jendelanya benar; Saya harus mengamati nilai dari seri sebelum saya mulai menghasilkan perkiraan window moving dari SD dari time series. $w$ $w = \left \lceil{n/2}\right \rceil$ $n$ $w = \left \lceil{n/2}\right \rceil$

Apakah ada bentuk yang diharapkan untuk ACF dari deret waktu nilai SD yang baru? Saya menduga ketergantungan pada nilai-nilai sebelumnya akan berhubungan dengan jendela dengan , tetapi apakah ACF dari seri tersebut terkait dengan ACF dari proses ? $w$ $\mathrm{MA}(w)$

Latar Belakang

Saya mencoba memikirkan implikasi dari derivasi deret waktu dari varian deret waktu asli melalui jendela bergerak. Setelah menghitung deretan nilai SD yang diturunkan, langkah selanjutnya yang umum diterapkan adalah untuk melihat apakah ada tren dalam deret nilai SD yang diturunkan. Karena setiap nilai dalam deret turunan tergantung sampai batas tertentu pada nilai-nilai sebelumnya dari deret asli, nilai deret turunan tidak independen. Jadi pertanyaan yang sering muncul adalah bagaimana menjelaskan kurangnya kemandirian itu.

Perhitungan seperti itu (jendela bergerak) sering dilakukan ke deret waktu untuk mencari bukti indikator (meningkatkan varians, meningkatkan AR (1) koefisien) dari respon ambang batas yang akan datang (disebut transisi kritis).

time-series autocorrelation moving-window

— Gavin Simpson
sumber

Adakah yang diketahui tentang ketergantungan pada seri di mana standar deviasi bergerak dihitung? Apakah itu Anda sebutkan? (Sebenarnya tidak jelas apakah itu dimaksudkan untuk merujuk ke seri asli atau seri SD, setidaknya tidak bagi saya).

MA (w)

$\text{MA}(w)$

— Glen_b -Reinstate Monica

@Glen_b Kita bisa memasukkan ke seri asli, tapi saya lebih bertanya-tanya apakah, karena seri asli sebenarnya adalah residual setelah tren diperkirakan dan dihapus, menghitung nilai rata-rata di jendela bergerak (dalam cara yang sama seperti yang saya jelaskan di atas untuk SD) akan memberikan sesuatu seperti proses MA dan karenanya jika ada tautan yang sama sehingga moving-SD akan memiliki ACF dengan sifat yang mirip dengan proses MA (tandai korelasi pada keterlambatan hingga ) .

m a t h r m M A (q)

$mathrm{MA}(q)$

q

$q$

— Gavin Simpson

Setelah melakukan sedikit lebih banyak bacaan latar belakang pada model untuk varian seri, saya bertanya-tanya apakah itu tidak akan lebih baik secara keseluruhan hanya agar sesuai dengan model itu daripada khawatir tentang bit jendela bergerak. Model volatilitas stokastik (G) ARCH atau stokastik tampaknya cocok untuk saat ini, tetapi saya tidak yakin bagaimana menunjukkan bahwa varians meningkat dengan salah satu model ini? Tapi itu untuk T&J yang berbeda. Masih sangat tertarik pada pemikiran tentang Q di sini karena itu adalah sesuatu yang cukup sering dalam mencari sinyal peringatan dini transisi yang akan datang dalam ekologi.

— Gavin Simpson

Ini pertanyaan yang sangat menarik, tetapi Anda tampaknya sudah memiliki setidaknya wawasan sebanyak yang saya bisa tawarkan tanpa menghabiskan banyak waktu bermain dengannya - dan mungkin bahkan setelah itu. Mungkin salah satu dari rangkaian waktu yang mungkin orang tawarkan.

— Glen_b -Reinstate Monica

Bisakah kita berasumsi bahwa seri asli dibentuk dari variabel acak Gaussian (normal)?

— Alecos Papadopoulos

ACF dari deviasi standar rolling umumnya tidak dapat diperoleh dari ACF dari deret waktu, karena deviasi standar rolling pada dasarnya adalah filter nonlinier.

Untuk menghindari efek batas, ambil sebagai proses stasioner tak terbatas ganda dengan rata-rata 0. Seperti yang saya pahami perhitungan rolling window, kami memperkenalkan estimator varians rolling yang merupakan rata-rata bergerak mundur dari proses kuadrat . Deviasi standar, menjadi , bahkan lebih merupakan filter nonlinear. Namun, adalah filter linear kausal dari proses kuadrat, dan karena itu ACF dapat diturunkan dari ACF dari . Jika deret waktu adalah urutan variabel iid maka proses kuadrat, dalam hal ini $(X_t)_{t \in\mathbb{Z}}$

s_{t}^{2} = \sum_{saya = 0}^{w} \frac{1}{w + 1} X_{t - saya}^{2},

$s_t^2 = \sum_{i=0}^w \frac{1}{w+1} X_{t-i}^2,$

s_{t} = \sqrt{s_{t}^{2}}

$s_t = \sqrt{s_t^2}$

(s_{t}^{2})_{t \in Z}

$(s_t^2)_{t \in \mathbb{Z}}$

(X_{t}^{2})_{t \in Z}

$(X_t^2)_{t \in \mathbb{Z}}$

(s_{t}^{2})_{t \in Z}

$(s_t^2)_{t \in \mathbb{Z}}$ adalah proses MA dengan semua bobot sama dengan . Di lain pihak, menggunakan model ARCH (1), kita dapat menemukan contoh di mana proses itu sendiri merupakan proses white noise, tetapi proses kuadrat tidak. Bahkan, untuk model ARCH (1) ACF untuk proses kuadrat bertepatan dengan ACF untuk proses AR (1), dalam hal ini ACF untuk varian bergulir sama dengan rata-rata bergerak AR (1) ) proses.

(w)

$(w)$

1 / (w + 1)

$1/(w+1)$

Jelaslah, perhitungan di atas diidealkan, karena kita mungkin juga akan menggunakan rolling mean dalam praktik untuk memusatkan deret waktu. Seperti yang saya lihat, ini hanya akan mengacaukan perhitungan eksplisit bahkan lebih.

Dengan asumsi eksplisit tentang deret waktu (struktur ARCH, atau distribusi Gaussian) ada kemungkinan Anda dapat menghitung ACF untuk proses kuadrat, dan dari sini ACF untuk varian bergulir.

Pada tingkat yang lebih kualitatif, varian bergulir dan standar deviasi bergulir akan mewarisi sifat ergodisitas dan beragam dari seri waktu itu sendiri. Ini berguna jika Anda ingin menerapkan alat umum dari analisis deret waktu (nonlinier) dan proses stokastik untuk menilai apakah deviasi standar bergulir stasioner (yang saya pahami menarik).

— NRH
sumber