Berapa rasio distribusi seragam dan normal?

Biarkan $X$ mengikuti distribusi seragam dan $Y$ mengikuti distribusi normal. Apa yang bisa dikatakan tentang $\frac X Y$ ? Apakah ada distribusi untuk itu?

Saya menemukan rasio dua normals dengan mean nol adalah Cauchy.

— rrpp
sumber

Untuk apa nilainya, distribusi

Y / X

$Y/X$ disebut distribusi slash . Saya tidak tahu apakah timbal balik memiliki nama atau formulir tertutup.

— David J. Harris

Dan kelas yang lebih besar yang dimiliki keduanya tampaknya merupakan distribusi rasio !

— Nick Stauner

@ DavidJ.Harris Cukup begitu; +1. Saya telah melihat garis miring digunakan beberapa kali dalam studi ketahanan. Mungkin

X / Y

$X/Y$ - sebagai garis miring terbalik - harus disebut " distribusi backslash ".

— Glen_b -Reinstate Monica

@ rrpp Apakah Anda mengacu pada standar

U n i f o r m (0, 1)

$Uniform(0,1)$ , atau

U n i f o r m (a, b)

$Uniform(a,b)$ ? Jika yang terakhir, maka kita perlu tahu jika

a > 0

$a>0$ ,

a < 0

$a<0$ dll.

— wolfies

terima kasih atas jawaban anda. @ serigala

adalah

dan

memiliki rata

X

$X$

U n i f o r m (0, 1)

$Uniform(0,1)$

Y

$Y$

— rrpp

Jawaban:

Biarkan variabel acak dengan pdf : $X \sim \text{Uniform}(a,b)$ $f(x)$

di mana saya mengasumsikan (ini kasus standar ). [Hasil berbeda akan diperoleh jika mengatakan parameter , tetapi prosedurnya persis sama. ] $0<a<b$ $\text{Uniform}(0,1)$ $a<0$

Selanjutnya, misalkan , dan misalkan dengan pdf : $Y \sim N(\mu, \sigma^2)$ $W=1/Y$ $g(w)$

Kemudian, kami mencari pdf dari produk , katakanlah , yang diberikan oleh: $V = X*W$ $h(v)$

di mana saya menggunakan mathStatica 's TransformProductfungsi untuk mengotomatisasi seluk-gritties, dan di mana Erfmenunjukkan fungsi Kesalahan: http://reference.wolfram.com/language/ref/Erf.html

Semua selesai.

Plot

Berikut adalah dua plot pdf:

Plot 1: , , ... dan ... $\mu = 0$ $\sigma = 1$ $b = 3$ $a = 0, 1, 2$

Plot 2: $\mu = {0,\frac12,1}$ $\sigma = 1$ $a=0$ $b = 1$

Monte Carlo periksa

$\mu = \frac12$ $\sigma = 1$ $a=0$ $b = 1$

$h(v)$

— serigala
sumber

$Z=\frac{X}{Y}$ $X\sim U[0,1]$ $Y \sim N(\mu,\sigma^2)$ $Z$

F_{Z} (z) = P (Z \leq z) = P (\frac{X}{Y} \leq z)

$F_Z(z) = P(Z\le z) = P\left(\frac{X}{Y} \le z \right)$

$Y>0$ $Y<0$ $Y>0$ $\frac{X}{Y}\le z\implies X \le zY$ $Y<0$ $\frac{X}{Y}\le z\implies X \ge zY$

$-\infty<Z<\infty$ $z>0$ $z<0$

$z>0$ $(X,Y)$

Wilayah Integrasi

F_{Z} (z) = \int_{0}^{1} \int_{x / z}^{\infty} f_{Y} (y) d y d x + \int_{0}^{1} \int_{- \infty}^{0} f_{Y} (y) d y d x

$F_Z(z) = \int_0^1 \int_{x/z}^\infty f_Y(y) dy dx + \int_0^1 \int_{-\infty}^0 f_Y(y) dy dx$

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$

Y

$Y$

$Z$

\begin{aligned} f_{Z} (z) & = \frac{d}{d z} \int_{0}^{1} [F_{Y} (\infty) - F_{Y} (\frac{x}{z})] d x \\ = \int_{0}^{1} \frac{\partial}{\partial z} [F_{Y} (\infty) - F_{Y} (\frac{x}{z})] d x \\ = \int_{0}^{1} \frac{x}{z^{2}} f_{Y} (\frac{x}{z}) d x \\ = \int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{2 π} σ z^{2}} \exp (- \frac{{(\frac{x}{z} - μ)}^{2}}{2 σ^{2}}) d x \end{aligned}

$\begin{align*} f_Z(z) &= \frac{d}{dz}\int_0^1 \left[ F_Y(\infty) - F_Y\left(\frac{x}{z}\right) \right] dx \\ &= \int_0^1 \frac{\partial}{\partial z} \left[ F_Y(\infty) - F_Y\left(\frac{x}{z}\right) \right] dx \\ &= \int_0^1 \frac{x}{z^2} f_Y\left(\frac{x}{z}\right) dx \\ &= \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{2\pi}\sigma z^2} \exp \left( - \frac{\left( \frac{x}{z}-\mu\right)^2}{2\sigma^2} \right) dx \end{align*}$

Integral di atas dapat dievaluasi menggunakan urutan transformasi berikut:

$u=\frac{x}{z}$
$v=u-\mu$
$v$ $v$

f_{Z} (z) = \frac{σ}{\sqrt{2 π}} [\exp (\frac{- μ^{2}}{2 σ^{2}}) - \exp (\frac{- {(\frac{1}{z} - μ)}^{2}}{2 σ^{2}})] + μ [Φ (\frac{\frac{1}{z} - μ}{σ}) - Φ (\frac{- μ}{σ})]

$f_Z(z) = \frac{\sigma}{\sqrt{2\pi}}\left[ \exp\left(\frac{-\mu^2}{2\sigma^2}\right)-\exp\left(\frac{-\left(\frac{1}{z}-\mu\right)^2}{2\sigma^2}\right) \right] + \mu \left[ \Phi\left(\frac{\frac{1}{z}-\mu}{\sigma}\right)-\Phi\left(\frac{-\mu}{\sigma}\right) \right]$

$\Phi(x)$ $z<0$

Jawaban ini dapat diverifikasi dengan simulasi. Script berikut dalam R melakukan tugas ini.

n <- 1e7
mu <- 2
sigma <- 4

X <- runif(n)
Y <- rnorm(n, mean=mu, sd=sigma)

Z <- X/Y
# Constrain range of Z to allow better visualization 
Z <- Z[Z>-10]
Z <- Z[Z<10] 

# The actual density 
hist(Z, breaks=1000, xlim=c(-10,10), prob=TRUE)

# The theoretical density
r <- seq(from=-10, to=10, by=0.01)
p <- sigma/sqrt(2*pi)*( exp( -mu^2/(2*sigma^2)) - exp(-(1/r-mu)^2/(2*sigma^2)) ) + mu*( pnorm((1/r-mu)/sigma) - pnorm(-mu/sigma) )

lines(r,p, col="red")

Berikut beberapa grafik untuk verifikasi:

$Y\sim N(0,1)$
$Y\sim N(1,1)$
$y\sim N(1,2)$

$z=0$

— Comp_Warrior
sumber

+1 Sangat bagus! Derivasi dari prinsip-prinsip dasar selalu memuaskan dan grafik membantu pembaca untuk memahami secara instan apa yang Anda lakukan.

— whuber

$Y$ $Y=\mathcal N(7,1)$ $\min(Y)>1$ $N\le1\rm M$ $Y<1$ $\frac X Y$ $Y<0$ set.seed(1);x=rbeta(10000000,1,1)/rnorm(10000000,7);hist(x,n=length(x)/50000)
^runif

masukkan deskripsi gambar di sini

— Nick Stauner
sumber

Ekor yang ekstrim mengeruk kepadatan. Distribusi agak seperti Cauchy. (Karena penasaran, mengapa tidak menggunakan runif? Tampaknya lebih idiomatis dan juga lebih cepat)

— Glen_b -Reinstate Monica

Karena aku masih belum tahu banyak tentang R, rupanya! :) Terima kasih atas tipnya!

— Nick Stauner

jangan khawatir. Perbedaan kecepatan tidak begitu besar, tetapi dengan 10 ^ 7 elemen, cukup untuk diperhatikan. Anda mungkin menemukan histogram yang layak dilihat ( hist(x,n=length(x),xlim=c(-10,10))) (sekitar 96% dari distribusi tampaknya berada di dalam batas itu)

— Glen_b -Reinstate Monica

Wow! Tentu saja. Membuat plot kerapatan ini cukup menyesatkan, saya khawatir! Saya akan mengedit dalam histogram itu ...

— Nick Stauner

Oh baiklah. Jangan khawatir. Anda mungkin ingin membuat nclass jauh lebih kecil dalam kasus itu. Saya pikir idealnya batangan harus sangat sempit tetapi tidak hanya garis hitam.

— Glen_b -Reinstate Monica